1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是()

A.$ \sqrt{0.1} $
B.$ \sqrt{19} $
C.$ \sqrt{8} $
D.$ \sqrt{4\dfrac{1}{4}} $

B

最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式。A选项$\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；B选项$\sqrt{19}$，19是质数，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；C选项$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；D选项$\sqrt{4\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。

2. 要使式子 $ \dfrac{1}{\sqrt{6 - 2x}} $ 在实数范围内有意义，则 $ x $ 的取值范围是()

A.$ x ＜ 3 $
B.$ x ≥ 3 $
C.$ x ≤ 3 $
D.$ x ≠ 3 $

A

要使式子$\dfrac{1}{\sqrt{6 - 2x}}$有意义，需满足分母不为零且被开方数为非负数。即$\sqrt{6 - 2x}$有意义且$\sqrt{6 - 2x} ≠ 0$。因为$\sqrt{6 - 2x}$有意义则$6 - 2x ≥ 0$，又因为分母不能为零，所以$6 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 3$。

3. 已知 $ a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{7} $，则 $ a - \dfrac{1}{a} = ( ) $

A.$ \sqrt{3} $
B.$ -\sqrt{3} $
C.$ \pm \sqrt{3} $
D.$ \pm \sqrt{11} $

C

∵$a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{7}$，∴$(a + \dfrac{1}{a})^2 = (\sqrt{7})^2$，即$a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 7$，$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 5$。$(a - \dfrac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \dfrac{1}{a^2} = 5 - 2 = 3$，∴$a - \dfrac{1}{a} = \pm \sqrt{3}$

4. 若实数 $ x $，$ y $ 满足 $ y = 4 + \sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5} $，则 $ \sqrt{(x + y)(x - y)} $ 的值是。

3

要使二次根式有意义，则被开方数非负，所以$5 - x ≥ 0$且$x - 5 ≥ 0$，解得$x = 5$。将$x = 5$代入$y = 4 + \sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5}$，得$y = 4$。则$\sqrt{(x + y)(x - y)} = \sqrt{(5 + 4)(5 - 4)} = \sqrt{9×1} = 3$。

5. 规定 $ a * b = \dfrac{a - b}{a + b} $，则 $ \sqrt{3} * \sqrt{2} $ 的值是。

$5 - 2\sqrt{6}$

根据规定 $ a * b = \dfrac{a - b}{a + b} $，将 $ a = \sqrt{3} $，$ b = \sqrt{2} $ 代入得：
$\sqrt{3} * \sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$
分母有理化，分子分母同乘 $ \sqrt{3} - \sqrt{2} $：
$\dfrac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = \dfrac{5 - 2\sqrt{6}}{1} = 5 - 2\sqrt{6}$

6. 计算或化简：
(1) $ (2\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2) $；
(2) $ (\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3} - \sqrt{2}) $；
(3) $ \sqrt{48} ÷ 2\sqrt{3} - \sqrt{27} × \dfrac{\sqrt{6}}{3} + 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} $；
(4) $ \dfrac{\sqrt{54} + \sqrt{6}}{\sqrt{27}} - \sqrt{3}(\sqrt{24} - \sqrt{6}) $。

(1) 原式$=(2\sqrt{3})^2 - 2×2\sqrt{3}×1 + 1^2 + [(\sqrt{3})^2 - 2^2]$
$=12 - 4\sqrt{3} + 1 + (3 - 4)$
$=13 - 4\sqrt{3} - 1$
$=12 - 4\sqrt{3}$
(2) 原式$=[(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{2}][(\sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{2}]$
$=(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$
$=5 - 2\sqrt{15} + 3 - 2$
$=6 - 2\sqrt{15}$
(3) 原式$=\frac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{27}×\sqrt{6}}{3} + 4×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \frac{3\sqrt{3}×\sqrt{6}}{3} + 2\sqrt{2}$
$=2 - \sqrt{18} + 2\sqrt{2}$
$=2 - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
$=2 - \sqrt{2}$
(4) 原式$=\frac{\sqrt{54} + \sqrt{6}}{\sqrt{27}} - \sqrt{3}×\sqrt{24} + \sqrt{3}×\sqrt{6}$
$=\frac{3\sqrt{6} + \sqrt{6}}{3\sqrt{3}} - \sqrt{72} + \sqrt{18}$
$=\frac{4\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
$=\frac{4\sqrt{2}}{3} - 3\sqrt{2}$
$=-\frac{5\sqrt{2}}{3}$

7. 已知 $ x = \dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $，$ y = \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $，求代数式 $ (x + 2)(y + 2) $ 的值。

解题步骤：
1. 化简 $ x $ 和 $ y $
$ x = \dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $
$ y = \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} $
2. 计算 $ x + y $ 和 $ xy $
$ x + y = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} $
$ xy = ( \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} ) ( \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} ) = \dfrac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} $
3. 展开并代入 $ (x + 2)(y + 2) $
$ (x + 2)(y + 2) = xy + 2x + 2y + 4 = xy + 2(x + y) + 4 $
代入 $ x + y = \sqrt{5} $ 和 $ xy = \dfrac{1}{2} $：
$ = \dfrac{1}{2} + 2\sqrt{5} + 4 = \dfrac{9}{2} + 2\sqrt{5} $
最终结论：
$\boxed{\dfrac{9}{2} + 2\sqrt{5}}$

8. 计算：$ \sqrt[3]{-8} - (1 + \sqrt{3})^0 + \sqrt{64} - (\sqrt{7})^2 $。

$-2$

$-8$的立方根是$-2$，任何非零数的$0$次方都等于$1$，所以$(1 + \sqrt{3})^0 = 1$，$\sqrt{64} = 8$，$(\sqrt{7})^2 = 7$。
$\begin{aligned}&\sqrt[3]{-8} - (1 + \sqrt{3})^0 + \sqrt{64} - (\sqrt{7})^2\\=& -2 - 1 + 8 - 7\\=& (-2 - 1) + (8 - 7)\\=& -3 + 1\\=& -2\end{aligned}$

9. 若 $ 3 - \sqrt{2} $ 的整数部分为 $ a $，小数部分为 $ b $，则代数式 $ (2 + \sqrt{2}a) · b $ 的值是。

（此处假设是填空题，答案直接写结果）2（若题目是选择题，根据选项填对应选项字母，由于无选项这里按结果填写）

因为 $1＜\sqrt{2}＜2$，所以 $-2＜-\sqrt{2}＜-1$，则 $3 - 2＜3 - \sqrt{2}＜3 - 1$，即 $1＜3 - \sqrt{2}＜2$。
所以 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分 $a = 1$，小数部分 $b = 3 - \sqrt{2}-1=2 - \sqrt{2}$。
把 $a = 1$，$b = 2 - \sqrt{2}$ 代入 $(2 + \sqrt{2}a)· b$ 得：
$(2+\sqrt{2}×1)×(2 - \sqrt{2})$
根据平方差公式 $(m + n)(m - n)=m^2 - n^2$，这里 $m = 2$，$n=\sqrt{2}$，则：
$(2+\sqrt{2})×(2 - \sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2})^2=4 - 2=2$。

10. 若 $ m $ 满足关系式 $ \sqrt{3x + 5y - 2 - m} + \sqrt{2x + 3y - m} = \sqrt{1 - x - y} · \sqrt{x - 1 + y} $，求 $ m $ 的值。

由二次根式定义，右边根号下需满足：
1 - x - y ≥ 0 且 x - 1 + y ≥ 0，即 1 - (x + y) ≥ 0 且 (x + y) - 1 ≥ 0，故 x + y = 1。
此时右边 = √(1 - 1)·√(1 - 1) = 0，因此左边 = 0。
因√(3x + 5y - 2 - m) + √(2x + 3y - m) = 0，且根式非负，故：
3x + 5y - 2 - m = 0 ①
2x + 3y - m = 0 ②
又 x + y = 1，即 y = 1 - x，代入②：2x + 3(1 - x) - m = 0 ⇒ -x + 3 - m = 0 ⇒ x = 3 - m。
将 x = 3 - m，y = 1 - x = m - 2 代入①：
3(3 - m) + 5(m - 2) - 2 - m = 0 ⇒ 9 - 3m + 5m - 10 - 2 - m = 0 ⇒ m - 3 = 0 ⇒ m = 3。
验证：x = 0，y = 1，代入①②均满足根式非负。
m = 3

1. (2025·重庆) 若 $ n $ 为正整数，且满足 $ n ＜ \sqrt{26} ＜ n + 1 $，则 $ n = $。

$5$

首先我们需要找到两个连续的整数，使得 $n ＜ \sqrt{26} ＜ n + 1$，由于 $5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且 $25 ＜ 26 ＜ 36$，所以 $5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$，因此 $n = 5$。

2. 估计 $ (\sqrt{10} + \sqrt{5}) × \sqrt{5} $ 的值应在()

A.$ 12 $ 和 $ 13 $ 之间
B.$ 13 $ 和 $ 14 $ 之间
C.$ 14 $ 和 $ 15 $ 之间
D.$ 15 $ 和 $ 16 $ 之间

A

$(\sqrt{10} + \sqrt{5}) × \sqrt{5} = \sqrt{10}×\sqrt{5} + \sqrt{5}×\sqrt{5} = \sqrt{50} + 5 = 5\sqrt{2} + 5$，因为$\sqrt{2}≈1.414$，所以$5\sqrt{2}≈7.07$，则$5\sqrt{2} + 5≈12.07$，所以值在12和13之间。

3. 计算：$ (-1)^{2026} + |\sqrt{5} - 1| = $。

$\sqrt{5}$（这里如果是填题形式，按实际要求可能为书写答案的横线处直接写$\sqrt{5}$ ，若为选择则无对应选项，按题目要求直接给答案内容）

因为 $(-1)^{2026}$ 中，2026 是偶数，所以 $(-1)^{2026}=1$，
因为 $\sqrt{5}\approx2.236＞1$，所以 $\sqrt{5}-1＞0$，则 $\vert\sqrt{5}-1\vert=\sqrt{5}-1$，
所以 $(-1)^{2026}+\vert\sqrt{5}-1\vert=1 + \sqrt{5}-1=\sqrt{5}$。