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勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$，斜边长为$c$，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于.
几何语言：如图，在$△ ABC$中，若$∠C = 90^{\circ}$，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
几何语言：如图，在$△ ABC$中，若$∠C = 90^{\circ}$，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
答案
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；斜边的平方
解析
勾股定理的内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
填空 在直角边长分别为$a,b$，斜边长为$c$的直角三角形中，$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$a=$，$b=$.
答案
$\sqrt{c^{2}-b^{2}}$；$\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
解析
在直角三角形中，由勾股定理$c^2 = a^2 + b^2$，移项可得$a^2 = c^2 - b^2$，则$a = \sqrt{c^2 - b^2}$；同理$b^2 = c^2 - a^2$，则$b = \sqrt{c^2 - a^2}$。
例1 勾股定理神秘而美妙，它的验证方法多样，其巧妙各有不同，其中“面积法”最为常见.如图，用四个如图1所示的直角三角形可以构造出一个如图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形.也可以用两个这样的直角三角形构造出一个分别以$a,b$为底，以$a + b$为高的直角梯形，如图3.请你分别利用图2和图3证明勾股定理.
名师导引 用面积法证明勾股定理，关键是通过对同一个图形面积的不同算法得到等量关系.
名师导引 用面积法证明勾股定理，关键是通过对同一个图形面积的不同算法得到等量关系.
答案
利用图2证明勾股定理：
大正方形边长为 $ c $，面积为 $ c^2 $。
大正方形由4个全等直角三角形和1个小正方形组成。
每个直角三角形面积为 $ \frac{1}{2}ab $，4个三角形面积和为 $ 4 × \frac{1}{2}ab = 2ab $。
小正方形边长为 $ b - a $（设 $ b ＞ a $），面积为 $ (b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 $。
由面积关系得：$ c^2 = 2ab + (b^2 - 2ab + a^2) $，化简得 $ c^2 = a^2 + b^2 $。
利用图3证明勾股定理：
直角梯形上底为 $ a $，下底为 $ b $，高为 $ a + b $，面积为 $ \frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{(a + b)^2}{2} $。
梯形由2个全等直角三角形和1个直角三角形（边长为 $ c $）组成。
2个直角三角形面积和为 $ 2 × \frac{1}{2}ab = ab $，中间直角三角形面积为 $ \frac{1}{2}c^2 $。
由面积关系得：$ \frac{(a + b)^2}{2} = ab + \frac{1}{2}c^2 $。
两边乘2：$ (a + b)^2 = 2ab + c^2 $，展开得 $ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 $，化简得 $ a^2 + b^2 = c^2 $。
综上，勾股定理得证：$ a^2 + b^2 = c^2 $。
大正方形边长为 $ c $，面积为 $ c^2 $。
大正方形由4个全等直角三角形和1个小正方形组成。
每个直角三角形面积为 $ \frac{1}{2}ab $，4个三角形面积和为 $ 4 × \frac{1}{2}ab = 2ab $。
小正方形边长为 $ b - a $（设 $ b ＞ a $），面积为 $ (b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 $。
由面积关系得：$ c^2 = 2ab + (b^2 - 2ab + a^2) $，化简得 $ c^2 = a^2 + b^2 $。
利用图3证明勾股定理：
直角梯形上底为 $ a $，下底为 $ b $，高为 $ a + b $，面积为 $ \frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{(a + b)^2}{2} $。
梯形由2个全等直角三角形和1个直角三角形（边长为 $ c $）组成。
2个直角三角形面积和为 $ 2 × \frac{1}{2}ab = ab $，中间直角三角形面积为 $ \frac{1}{2}c^2 $。
由面积关系得：$ \frac{(a + b)^2}{2} = ab + \frac{1}{2}c^2 $。
两边乘2：$ (a + b)^2 = 2ab + c^2 $，展开得 $ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 $，化简得 $ a^2 + b^2 = c^2 $。
综上，勾股定理得证：$ a^2 + b^2 = c^2 $。
变式训练 如图，用四个图1所示的直角三角形可以构造出一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形.请你利用图2证明勾股定理.
答案
【解析】：
如图2所示，大正方形的边长为$a + b$，因此其面积为$(a + b)^2$。
四个直角三角形的面积总和为$4 × \frac{1}{2}ab = 2ab$。
中间小正方形的边长为$c$，因此其面积为$c^2$。
根据图2，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即：
$(a + b)^2 = 2ab + c^2$。
展开并整理得：
$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。
消去$2ab$，得到：
$a^2 + b^2 = c^2$。
这就证明了勾股定理。
【答案】：
(此处无需答案，因为为证明题，若题目要求则填，否则不填)
如图2所示，大正方形的边长为$a + b$，因此其面积为$(a + b)^2$。
四个直角三角形的面积总和为$4 × \frac{1}{2}ab = 2ab$。
中间小正方形的边长为$c$，因此其面积为$c^2$。
根据图2，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即：
$(a + b)^2 = 2ab + c^2$。
展开并整理得：
$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。
消去$2ab$，得到：
$a^2 + b^2 = c^2$。
这就证明了勾股定理。
【答案】：
(此处无需答案，因为为证明题，若题目要求则填，否则不填)
解析
如图2所示，大正方形的边长为$a + b$，因此其面积为$(a + b)^2$。
四个直角三角形的面积总和为$4 × \frac{1}{2}ab = 2ab$。
中间小正方形的边长为$c$，因此其面积为$c^2$。
根据图2，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即：
$(a + b)^2 = 2ab + c^2$。
展开并整理得：
$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。
消去$2ab$，得到：
$a^2 + b^2 = c^2$。
这就证明了勾股定理。
四个直角三角形的面积总和为$4 × \frac{1}{2}ab = 2ab$。
中间小正方形的边长为$c$，因此其面积为$c^2$。
根据图2，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即：
$(a + b)^2 = 2ab + c^2$。
展开并整理得：
$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。
消去$2ab$，得到：
$a^2 + b^2 = c^2$。
这就证明了勾股定理。
例2 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥AB$于点$D$，$AC = 20$，$BC = 15$.
（1）求$AB$的长；
（2）求$CD$的长.
名师导引 用不同的方法求面积以建立方程求解.
（1）求$AB$的长；
（2）求$CD$的长.
名师导引 用不同的方法求面积以建立方程求解.
答案
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=20$，$BC=15$，由勾股定理得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=400 + 225=625$，所以$AB=\sqrt{625}=25$。
（2）因为$CD⊥ AB$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，即$\frac{1}{2}×20×15=\frac{1}{2}×25· CD$，$150=\frac{25}{2}CD$，解得$CD=12$。
（1）$AB=25$；（2）$CD=12$。
（2）因为$CD⊥ AB$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，即$\frac{1}{2}×20×15=\frac{1}{2}×25· CD$，$150=\frac{25}{2}CD$，解得$CD=12$。
（1）$AB=25$；（2）$CD=12$。
变式训练 如图，在$△ ABC$中，$AB = 15$，$BC = 14$，$AC = 13$，求$△ ABC$的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按此思路完成解答过程.
如图，过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$，设$BD = x$，用含$x$的代数式表示$CD→$根据勾股定理，利用$AD$作为“桥梁”，建立方程模型求出$x→$利用勾股定理求出$AD$的长，再计算三角形的面积.
如图，过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$，设$BD = x$，用含$x$的代数式表示$CD→$根据勾股定理，利用$AD$作为“桥梁”，建立方程模型求出$x→$利用勾股定理求出$AD$的长，再计算三角形的面积.
答案
解：设$BD = x$，则$CD = 14 - x$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}$，即$AD^{2}=15^{2}-x^{2}$。
在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，即$AD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$
$\begin{aligned}225-x^{2}&=169-(196 - 28x+x^{2})\\225-x^{2}&=169 - 196 + 28x - x^{2}\\225&=169 - 196 + 28x\\225&=-27 + 28x\\28x&=225 + 27\\28x&=252\\x&=9\end{aligned}$
则$AD=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225 - 81}=\sqrt{144}=12$。
所以${S}_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× BC× AD=\dfrac{1}{2}× 14× 12 = 84$。
综上，$△ ABC$的面积为$84$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}$，即$AD^{2}=15^{2}-x^{2}$。
在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，即$AD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$
$\begin{aligned}225-x^{2}&=169-(196 - 28x+x^{2})\\225-x^{2}&=169 - 196 + 28x - x^{2}\\225&=169 - 196 + 28x\\225&=-27 + 28x\\28x&=225 + 27\\28x&=252\\x&=9\end{aligned}$
则$AD=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225 - 81}=\sqrt{144}=12$。
所以${S}_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× BC× AD=\dfrac{1}{2}× 14× 12 = 84$。
综上，$△ ABC$的面积为$84$。
解析
过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则DC=14-x。在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²=15²-x²；在Rt△ACD中，AD²=AC²-DC²=13²-(14-x)²。则15²-x²=13²-(14-x)²，解得x=9。∴AD²=15²-9²=144，AD=12。∴△ABC的面积=1/2×BC×AD=1/2×14×12=84。
