1. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $AD$，$CD$ 上两点，$BE$ 交 $AF$ 于点 $G$，且 $DE = CF$.
(1) 判断 $BE$ 与 $AF$ 之间的数量关系与位置关系，并说明理由；
(2) 当点 $E$ 是 $AD$ 的中点时，连接 $GD$，求 $∠ DGF$ 的度数.

1.解:(1)$BE=AF$,$BE⊥ AF$.
理由:因为四边形$ABCD$是正方形,
所以$BA=AD=CD$,
$∠ BAE=∠ ADC=90°$.
因为$DE=CF$,
所以$AE=DF$,
所以$△ BAE≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$,
所以$BE=AF$,$∠ ABE=∠ DAF$.
因为$∠ ABE+∠ AEB=90°$,
所以$∠ DAF+∠ AEB=90°$,
所以$∠ AGE=90°$,
所以$BE⊥ AF$.
(2)$∠ DGF=45°$.

【解析】
(1) $BE=AF$，$BE⊥AF$。
理由：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $BA=AD=CD$，$∠BAE=∠ADC=90°$。
∵ $DE=CF$，
∴ $AE=DF$。
在$△ BAE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BA=AD \\∠BAE=∠ADC \\AE=DF\end{cases}$
∴ $△ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，
∴ $BE=AF$，$∠ABE=∠DAF$。
∵ $∠ABE+∠AEB=90°$，
∴ $∠DAF+∠AEB=90°$，
∴ $∠AGE=90°$，即$BE⊥AF$。
(2) 当点$E$是$AD$中点时，$AE=DE=\frac{1}{2}AD$，
∵ $DE=CF$，$AD=CD$，
∴ $DF=AE=\frac{1}{2}CD$，即$F$是$CD$中点。
取$AB$的中点$H$，连接$DH$，
∵ $H$是$AB$中点，$E$是$AD$中点，四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AH=DE$，$AH// DE$，四边形$AEDH$是平行四边形，
∴ $DH// BE$，
由(1)知$BE⊥AF$，则$DH⊥AF$，
又
∵ $DH// BE$，$H$是$AB$中点，
∴ $DH$垂直平分$AG$，故$GD=AD$，结合$△ ADF$的性质可证得$∠DGF=45°$。
【答案】
(1) $BE=AF$，$BE⊥AF$；
(2) $\boldsymbol{∠DGF=45°}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定
【点评】
本题主要考查正方形的综合应用，需灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定与性质，第二问通过构造辅助线利用平行与垂直的关系，结合中点性质求解角度，对几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

2. 四边形 $ABCD$ 为正方形，点 $E$ 在 $BC$ 边上，点 $F$ 在 $AB$ 边上，连接 $AE$，过点 $F$ 作 $AE$ 的垂线，交 $CD$ 于点 $G$，垂足为 $H$.
(1) 如图①，求证：$AE = FG$.
(2) 如图②，连接 $BD$，若点 $H$ 在 $BD$ 上，求证：$AH = GH$.

2.证明:(1)如图,过点$F$作$FS⊥ CD$于点$S$,则$∠ FSD=90°$.

因为四边形$ABCD$为正方形,
所以$∠ BAD=∠ D=90°$,$AD=AB$,
所以四边形$AFSD$为矩形,
所以$FS=AD=AB$,$∠ AFH+∠ HFS=∠ AFS=90°$.
因为$FG⊥ AE$,
所以$∠ FHA=90°$,
所以$∠ AFH+∠ HAF=90°$.
所以$∠ HFS=∠ HAF$.
在$△ SFG$和$△ BAE$中,
$\begin{cases} ∠ SFG=∠ BAE, \\ SF=BA, \\ ∠ FSG=∠ ABE=90°, \end{cases}$
所以$△ SFG≌ △ BAE(\mathrm{ASA})$,
所以$AE=FG$.
(2)如图,过点$H$作$HM⊥ AB$于点$M$,延长$MH$交$CD$于点$N$,则$∠ AMH=∠ BMH=90°$.

因为四边形$ABCD$为正方形,
所以$∠ ABD=45°$,$∠ BAD=∠ ADC=90°$,
所以$∠ AMN=∠ MAD=∠ ADN=90°$,
$△ MHB$为等腰直角三角形,
所以四边形$ADNM$为矩形,$BM=MH$,
所以$MN=AD=AB$,
所以$AB - BM=MN - MH$,即$AM=HN$.
因为$AE⊥ FG$,
所以$∠ AHG=90°$.
所以$∠ AHM+∠ GHN=90°$.
因为$∠ AHM+∠ MAH=90°$,
所以$∠ GHN=∠ MAH$.
在$△ AMH$和$△ HNG$中,
$\begin{cases} ∠ MAH=∠ NHG, \\ AM=HN, \\ ∠ AMH=∠ HNG=90°, \end{cases}$
所以$△ AMH≌ △ HNG(\mathrm{ASA})$,
所以$AH=GH$.

【解析】
(1) 如图，过点$F$作$FS⊥ CD$于点$S$，则$∠ FSD=90°$。
因为四边形$ABCD$为正方形，
所以$∠ BAD=∠ D=90°$，$AD=AB$，
所以四边形$AFSD$为矩形，
所以$FS=AD=AB$，$∠ AFH+∠ HFS=∠ AFS=90°$。
因为$FG⊥ AE$，
所以$∠ FHA=90°$，
所以$∠ AFH+∠ HAF=90°$，
所以$∠ HFS=∠ HAF$。
在$△ SFG$和$△ BAE$中，
$\begin{cases} ∠ SFG=∠ BAE, \\ SF=BA, \\ ∠ FSG=∠ ABE=90°, \end{cases}$
所以$△ SFG≌ △ BAE(\mathrm{ASA})$，
所以$AE=FG$。
(2) 如图，过点$H$作$HM⊥ AB$于点$M$，延长$MH$交$CD$于点$N$，则$∠ AMH=∠ BMH=90°$。
因为四边形$ABCD$为正方形，
所以$∠ ABD=45°$，$∠ BAD=∠ ADC=90°$，
所以$∠ AMN=∠ MAD=∠ ADN=90°$，$△ MHB$为等腰直角三角形，
所以四边形$ADNM$为矩形，$BM=MH$，
所以$MN=AD=AB$，
所以$AB - BM=MN - MH$，即$AM=HN$。
因为$AE⊥ FG$，
所以$∠ AHG=90°$，
所以$∠ AHM+∠ GHN=90°$。
因为$∠ AHM+∠ MAH=90°$，
所以$∠ GHN=∠ MAH$。
在$△ AMH$和$△ HNG$中，
$\begin{cases} ∠ MAH=∠ NHG, \\ AM=HN, \\ ∠ AMH=∠ HNG=90°, \end{cases}$
所以$△ AMH≌ △ HNG(\mathrm{ASA})$，
所以$AH=GH$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 证明见上述解析。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题关键。
【难度系数】
0.6