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5. 已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，若EG//BC，FH//CD，则四边形EFGH一定是(
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.对角线互相垂直且相等的四边形
D
)A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.对角线互相垂直且相等的四边形
答案
5.D
解析
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，BC=CD。
∵EG//BC，FH//CD，
∴EG⊥FH，且EG=BC，FH=CD，故EG=FH，即四边形EFGH的对角线互相垂直且相等。
选项A：四边形EFGH不一定是平行四边形，故不是矩形；选项B：同理不是菱形；选项C：显然不是正方形；因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，平行线的性质，四边形对角线的性质
【点评】
本题考查正方形及四边形对角线的性质，需通过平行线关系推导对角线的垂直与相等关系，易因误判为平行四边形而错选A、B、C，解题关键是抓住对角线的核心特征。
【难度系数】
0.3
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，BC=CD。
∵EG//BC，FH//CD，
∴EG⊥FH，且EG=BC，FH=CD，故EG=FH，即四边形EFGH的对角线互相垂直且相等。
选项A：四边形EFGH不一定是平行四边形，故不是矩形；选项B：同理不是菱形；选项C：显然不是正方形；因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，平行线的性质，四边形对角线的性质
【点评】
本题考查正方形及四边形对角线的性质，需通过平行线关系推导对角线的垂直与相等关系，易因误判为平行四边形而错选A、B、C，解题关键是抓住对角线的核心特征。
【难度系数】
0.3
6. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC与BD相交于点O，且互相平分. 要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是
AB = BC
.(只填一个条件即可)答案
6.$AB = BC$(答案不唯一)
解析
【解析】
已知AC与BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，因此平行四边形ABCD是矩形。根据正方形的判定定理，要使矩形ABCD成为正方形，可添加如$AB = BC$（或$AC⊥BD$、$∠BAC=45°$等，答案不唯一）的条件。
【答案】
$AB = BC$(答案不唯一)
【知识点】
矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，需先结合已知条件判定四边形为矩形，再依据正方形的判定定理添加合适条件，需理清平行四边形、矩形、正方形的判定逻辑，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
已知AC与BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，因此平行四边形ABCD是矩形。根据正方形的判定定理，要使矩形ABCD成为正方形，可添加如$AB = BC$（或$AC⊥BD$、$∠BAC=45°$等，答案不唯一）的条件。
【答案】
$AB = BC$(答案不唯一)
【知识点】
矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，需先结合已知条件判定四边形为矩形，再依据正方形的判定定理添加合适条件，需理清平行四边形、矩形、正方形的判定逻辑，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：四边形AEDF是正方形。
答案
7.证明:因为$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F，$∠BAC = 90°$，
所以$∠BAC = ∠AED = ∠AFD = 90°$，所以四边形AEDF是矩形。
因为AD平分$∠BAC$，
所以$DE = DF$，
所以四边形AEDF是正方形。
所以$∠BAC = ∠AED = ∠AFD = 90°$，所以四边形AEDF是矩形。
因为AD平分$∠BAC$，
所以$DE = DF$，
所以四边形AEDF是正方形。
解析
【解析】
证明：因为$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F，$∠BAC = 90°$，
所以$∠BAC = ∠AED = ∠AFD = 90°$，因此四边形AEDF是矩形。
因为AD平分$∠BAC$，所以$DE = DF$，
所以四边形AEDF是正方形。
【答案】
四边形AEDF是正方形
【知识点】
矩形的判定，正方形的判定，角平分线的性质
【点评】
本题考查矩形、正方形的判定定理及角平分线性质的综合应用，需理清“先证矩形，再证邻边相等得正方形”的证明逻辑，熟练掌握相关定理是解题关键。
【难度系数】
0.7
证明：因为$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F，$∠BAC = 90°$，
所以$∠BAC = ∠AED = ∠AFD = 90°$，因此四边形AEDF是矩形。
因为AD平分$∠BAC$，所以$DE = DF$，
所以四边形AEDF是正方形。
【答案】
四边形AEDF是正方形
【知识点】
矩形的判定，正方形的判定，角平分线的性质
【点评】
本题考查矩形、正方形的判定定理及角平分线性质的综合应用，需理清“先证矩形，再证邻边相等得正方形”的证明逻辑，熟练掌握相关定理是解题关键。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.
（1）求证：□ABCD是矩形.
（2）请添加一个条件，使矩形ABCD是正方形.（不需要说明理由）
（1）求证：□ABCD是矩形.
（2）请添加一个条件，使矩形ABCD是正方形.（不需要说明理由）
答案
8.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
所以$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，$OC = OA = \frac{1}{2}AC$。因为$∠1 = ∠2$，所以$OB = OC$，
所以$\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC$，所以$BD = AC$，
所以$□ ABCD$是矩形。
(2)解:答案不唯一，例如:当$AB = BC$时，矩形ABCD是正方形。
所以$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，$OC = OA = \frac{1}{2}AC$。因为$∠1 = ∠2$，所以$OB = OC$，
所以$\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC$，所以$BD = AC$，
所以$□ ABCD$是矩形。
(2)解:答案不唯一，例如:当$AB = BC$时，矩形ABCD是正方形。
解析
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴ $OB = OD = \frac{1}{2}BD$，$OC = OA = \frac{1}{2}AC$。
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $OB = OC$，
∴ $\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC$，即$BD = AC$，
∴ □ABCD是矩形。
(2) 要使矩形ABCD是正方形，可添加的条件不唯一，例如$AB=BC$（或$AC⊥BD$等）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $AB=BC$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质，第一问借助平行四边形对角线性质与等角对等边证明对角线相等，进而判定矩形；第二问需明确矩形与正方形的特征差异，添加合理条件，培养了对特殊四边形判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴ $OB = OD = \frac{1}{2}BD$，$OC = OA = \frac{1}{2}AC$。
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $OB = OC$，
∴ $\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC$，即$BD = AC$，
∴ □ABCD是矩形。
(2) 要使矩形ABCD是正方形，可添加的条件不唯一，例如$AB=BC$（或$AC⊥BD$等）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $AB=BC$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质，第一问借助平行四边形对角线性质与等角对等边证明对角线相等，进而判定矩形；第二问需明确矩形与正方形的特征差异，添加合理条件，培养了对特殊四边形判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=BC，∠D=45°，CD的垂直平分线交CD于点E，交AD于点F，交BC的延长线于点G，连接CF.
（1）求证：四边形ABCF是正方形.
（2）若AD=8，求BG的长.
（1）求证：四边形ABCF是正方形.
（2）若AD=8，求BG的长.
答案
9.(1)证明:因为FG是CD的垂直平分线，所以$CF = FD$，所以$∠FCD = ∠D$。
因为$∠D = 45°$，
所以$∠FCD = ∠D = 45°$，
所以$∠AFC = 90°$。
因为$AD// BC$，$∠A = 90°$，
所以$∠B + ∠A = 180°$，
所以$∠B = 90°$，
所以$∠A = ∠B = ∠AFC = 90°$，
所以四边形ABCF是矩形。
因为$AB = BC$，
所以四边形ABCF是正方形。
(2)解:$BG = 8$。
因为$∠D = 45°$，
所以$∠FCD = ∠D = 45°$，
所以$∠AFC = 90°$。
因为$AD// BC$，$∠A = 90°$，
所以$∠B + ∠A = 180°$，
所以$∠B = 90°$，
所以$∠A = ∠B = ∠AFC = 90°$，
所以四边形ABCF是矩形。
因为$AB = BC$，
所以四边形ABCF是正方形。
(2)解:$BG = 8$。
解析
【解析】
（1）证明：
因为FG是CD的垂直平分线，所以$CF = FD$，则$∠FCD = ∠D$。
已知$∠D = 45°$，所以$∠FCD = ∠D = 45°$，因此$∠CFD = 90°$，故$∠AFC = 180° - ∠CFD = 90°$。
因为$AD// BC$，$∠A = 90°$，所以$∠B + ∠A = 180°$，可得$∠B = 90°$。
所以$∠A = ∠B = ∠AFC = 90°$，四边形ABCF是矩形。
又因为$AB = BC$，所以矩形ABCF是正方形。
（2）解：
由（1）知四边形ABCF是正方形，所以$BC = AF = CF = FD$。
因为$AD = AF + FD = 8$，且$AF = FD$，所以$AF = FD = 4$，即$BC = 4$。
结合$AD// BC$的性质，可得$BG = AD = 8$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{8}$
【知识点】
正方形的判定、垂直平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了正方形的判定与性质、垂直平分线的性质及平行线的性质，解题关键是熟练掌握相关几何图形的判定定理与性质，通过角度关系推导出四边形的形状，进而求解线段长度。
【难度系数】
0.6
（1）证明：
因为FG是CD的垂直平分线，所以$CF = FD$，则$∠FCD = ∠D$。
已知$∠D = 45°$，所以$∠FCD = ∠D = 45°$，因此$∠CFD = 90°$，故$∠AFC = 180° - ∠CFD = 90°$。
因为$AD// BC$，$∠A = 90°$，所以$∠B + ∠A = 180°$，可得$∠B = 90°$。
所以$∠A = ∠B = ∠AFC = 90°$，四边形ABCF是矩形。
又因为$AB = BC$，所以矩形ABCF是正方形。
（2）解：
由（1）知四边形ABCF是正方形，所以$BC = AF = CF = FD$。
因为$AD = AF + FD = 8$，且$AF = FD$，所以$AF = FD = 4$，即$BC = 4$。
结合$AD// BC$的性质，可得$BG = AD = 8$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{8}$
【知识点】
正方形的判定、垂直平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了正方形的判定与性质、垂直平分线的性质及平行线的性质，解题关键是熟练掌握相关几何图形的判定定理与性质，通过角度关系推导出四边形的形状，进而求解线段长度。
【难度系数】
0.6
