4. (2025，北京，15)如图，在正方形 $ ABCD $ 中，点 $ E $ 在边 $ CD $ 上，$ CF ⊥ BE $，垂足为 $ F $. 若 $ AB = 1 $，$ ∠ EBC = 30° $，则 $ △ ABF $ 的面积为.

4. $\frac{3}{8}$ 【提示】如图，过点 $F$ 分别作 $FM ⊥ BC$，$FN ⊥ AB$，垂足为 $M$，$N$，连接 $AM$，则 $∠ FMC = 90°$，$FN = BM$．可得 $CM = \frac{1}{2}CF = \frac{1}{4}$，$BM = BC - CM = \frac{3}{4}$，则 $S_{△ ABF} = S_{△ ABM} = \frac{1}{2} × 1 × \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$．

5. （2025，安徽，22）已知点 $ A' $ 在正方形 $ ABCD $ 内，点 $ E $ 在边 $ AD $ 上，$ BE $ 是线段 $ AA' $ 的垂直平分线，连接 $ A'E $，$ A'B $.
（1）如图 1，若 $ BA' $ 的延长线经过点 $ D $，$ AE = 1 $，求 $ AB $ 的长.
（2）如图 2，$ F $ 是 $ AA' $ 的延长线与 $ CD $ 的交点，连接 $ CA' $.
①求证：$ ∠ CA'F = 45° $；
②如图 3，设 $ AF $，$ BE $ 相交于点 $ G $，连接 $ CG $，$ DG $，$ DA' $，若 $ CG = CB $，判断 $ △ A'DG $ 的形状，并说明理由.

5. (1) 解：
∵ $BE$ 是线段 $AA'$ 的垂直平分线，
∴ $A'E = AE = 1$，$BA' = BA$．
又 $BE = BE$，
∴ $△ ABE ≌ △ A'BE(SSS)$．
∴ $∠ BAE = ∠ BA'E = 90°$．
∴ $∠ DA'E = 90°$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠ ADB = 45°$，
∴ $△ A'DE$ 是等腰直角三角形，
∴ $A'D = A'E = 1$，
∴ $DE = \sqrt{2}$．
∴ $AD = AE + DE = \sqrt{2} + 1$，
∴ $AB = AD = A'B = \sqrt{2} + 1$．
(2) ① 证明：由题意知，$BA = BA' = BC$，
∴ $∠ BAA' = ∠ BA'A$，$∠ BCA' = ∠ BA'C$．
∴ $∠ AA'C = ∠ AA'B + ∠ CA'B = \frac{1}{2}(180° - ∠ ABA') + \frac{1}{2}(180° - ∠ CBA') = 135°$．
∴ $∠ CA'F = 180° - ∠ AA'C = 45°$．
② 解：$△ A'DG$ 是等腰直角三角形．
理由如下：
如图，作 $CN ⊥ BG$ 交 $BG$ 于点 $M$，交 $AB$ 于点 $N$．

∵ $CN ⊥ BG$，$CG = CB$，
∴ $M$ 为 $BG$ 的中点．
∵ $AA' ⊥ BE$，
∴ $CN // AF$．
∴ $MN$ 是 $△ ABG$ 的中位线．
∴ $BN = \frac{1}{2}AB$．
∵ $∠ ABE = 90° - ∠ CBG = ∠ BCN$，$∠ BAE = ∠ CBN = 90°$，$AB = BC$，
∴ $△ ABE ≌ △ BCN(ASA)$．
∴ $AE = BN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AD$．
∴ $E$ 为 $AD$ 的中点．又 $AG = GA'$，
∴ $EG // A'D$．
∴ $∠ DA'G = ∠ EGA = 90°$．
同理可证 $△ ADA' ≌ △ BAG(AAS)$．
∴ $A'D = AG = A'G$．
∴ $△ A'DG$ 是等腰直角三角形．