11. （2025，长沙，21）如图，在正方形 $ ABCD $ 中，点 $ E $，$ F $ 分别在 $ AB $，$ CD $ 上，且 $ BE = DF $.
（1）求证：四边形 $ AECF $ 是平行四边形；
（2）连接 $ EF $，若 $ BC = 12 $，$ BE = 5 $，求 $ EF $ 的长.

11. (1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$．
∵ $BE = DF$，
∴ $AB - BE = CD - DF$．
∴ $AE = CF$．又
∵ $AB // CD$，
∴ 四边形 $AECF$ 是平行四边形．
(2) 解：如图，过点 $E$ 作 $EH ⊥ CD$ 于点 $H$，
∴ $∠ EHC = ∠ EHF = 90°$．

∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$BC = 12$，
∴ $AB = BC = CD = AD = 12$，$∠ B = ∠ BCD = 90°$．
∴ $∠ EHC = ∠ B = ∠ BCD = 90°$．
∴ 四边形 $EBCH$ 是矩形．
∴ $EH = BC = 12$，$CH = BE = 5$．
∴ $DH = CD - CH = 12 - 5 = 7$．
∵ $BE = DF = 5$，
∴ $HF = DH - DF = 7 - 5 = 2$．
在 $Rt△ EFH$ 中，由勾股定理，得
$EF = \sqrt{EH^{2} + HF^{2}} = \sqrt{12^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{37}$．

12. 如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ F $ 为 $ CD $ 的中点，$ E $ 为 $ BC $ 上一点，且 $ CE = \frac{1}{4}BC $，设 $ CE $ 的长为 $ a(a ＞ 0) $.
（1）用含有 $ a $ 的式子表示 $ EF $ 和 $ AF $；
（2）求 $ ∠ AFE $ 的大小.

12. 解：(1)
∵ $CE = \frac{1}{4}BC$，$CE = a$，
∴ $BC = 4a$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AD = CD = BC = 4a$，$∠ C = ∠ D = 90°$．
∵ $F$ 是 $CD$ 的中点，
∴ $CF = DF = 2a$．
∴ 在 $Rt△ CEF$ 中，$EF = \sqrt{CE^{2} + CF^{2}} = \sqrt{a^{2} + (2a)^{2}} = \sqrt{5}a$，
在 $Rt△ ADF$ 中，$AF = \sqrt{DF^{2} + AD^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} + (4a)^{2}} = 2\sqrt{5}a$，
即 $EF = \sqrt{5}a$，$AF = 2\sqrt{5}a$．
(2) 如图，连接 $AE$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠ B = 90°$．

由 (1) 得 $AB = 4a$，
$BE = BC - CE = 3a$．
∴ $AE^{2} = AB^{2} + BE^{2} = (4a)^{2} + (3a)^{2} = 25a^{2}$，
由 (1) 得 $EF^{2} = 5a^{2}$，$AF^{2} = 20a^{2}$，
∴ $EF^{2} + AF^{2} = AE^{2}$．
∴ $△ AFE$ 是直角三角形．
∴ $∠ AFE = 90°$．

1. 以正方形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 为一边作等边三角形 $ ABE $，则 $ ∠ CED $ 的度数为().

A.$ 30° $
B.$ 22.5° $
C.$ 150° $
D.$ 30° $或 $ 150° $

1. D

2. (2025，重庆，9)如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 2，$ E $ 是 $ BC $ 边的中点，连接 $ DE $，将 $ △ DCE $ 沿直线 $ DE $ 翻折到正方形 $ ABCD $ 所在的平面内，得 $ △ DFE $，延长 $ DF $ 交 $ AB $ 于点 $ G $. $ ∠ ADG $ 和 $ ∠ DAG $ 的平分线 $ DH $，$ AH $ 相交于点 $ H $，连接 $ GH $，则 $ △ DGH $ 的面积为().

A.$ \frac{5}{8} $
B.$ \frac{5}{4} $
C.$ \frac{5\sqrt{5}}{8} $
D.$ \frac{5\sqrt{5}}{4} $

2. A 【提示】如图，连接 $GE$，由 $Rt△ EFG ≌ Rt△ EBG$，可得 $GF = GB$．设 $GB = GF = x$，则 $AG = 2 - x$，$DG = 2 + x$．根据勾股定理，可得 $x = \frac{1}{2}$．由角平分线的性质知点 $H$ 到 $AD$，$AG$，$GD$ 的距离相等，再利用“高相同，面积比等于底之比”即可解决问题．

3. (2024，天津，17)如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 3\sqrt{2} $，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，点 $ E $ 在 $ CA $ 的延长线上，$ OE = 5 $，连接 $ DE $.
(1)线段 $ AE $ 的长为；
(2)若 $ F $ 为 $ DE $ 的中点，则线段 $ AF $ 的长为.

3. (1) 2 (2) $\frac{\sqrt{10}}{2}$