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1. 矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是()
A.对角线平分一组对角
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相平分
A.对角线平分一组对角
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案
D
解析
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，所以它们的对角线都具有的性质是对角线互相平分。选项A是菱形和正方形的性质，矩形不一定具有；选项B是菱形和正方形的性质，矩形不一定具有；选项C是矩形和正方形的性质，菱形不一定具有。
2. 在正方形 $ABCD$ 的外侧作等边三角形 $ADE$，连接 $BE$，则 $∠ ABE$ 的度数为()
A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$125^{\circ}$
A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$125^{\circ}$
答案
A
解析
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°。
∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°。
∵点E在正方形外侧，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°。
∵AB=AD=AE，∴△ABE是等腰三角形，AB=AE。
∴∠ABE=∠AEB=(180°-∠BAE)/2=(180°-150°)/2=15°。
∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°。
∵点E在正方形外侧，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°。
∵AB=AD=AE，∴△ABE是等腰三角形，AB=AE。
∴∠ABE=∠AEB=(180°-∠BAE)/2=(180°-150°)/2=15°。
3. 如图，$O$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的中点，$△ ACE$ 为等边三角形，连接 $OE$.若 $AB = 2$，则 $OE$ 的长为()
A.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
A.$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
B
解析
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AC=AB√2=2√2（正方形对角线性质）。
∵O是AC中点，∴AO=OC=AC/2=√2。
∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE=2√2，且OE为AC边上的中线（等边三角形三线合一），故OE⊥AC。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE²=AE² - AO²=(2√2)² - (√2)²=8 - 2=6，
∴OE=√6。
4. 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便能得到正方形：$a$. 两组对边分别相等；$b$. 一组对边平行且相等；$c$. 一组邻边相等；$d$. 一个角是直角.顺次添加的条件：① $a \to c \to d$；② $b \to d \to c$；③ $a \to b \to c$.其中正确的是()
A.①
B.③
C.①②
D.②③
A.①
B.③
C.①②
D.②③
答案
C
解析
①a→c→d：a（两组对边分别相等）→平行四边形；c（一组邻边相等）→菱形；d（一个角是直角）→正方形，正确。②b→d→c：b（一组对边平行且相等）→平行四边形；d（一个角是直角）→矩形；c（一组邻边相等）→正方形，正确。③a→b→c：a→平行四边形，b为平行四边形性质（重复），c→菱形，无法得到直角，不能成为正方形，错误。综上①②正确。
