5. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在 $BC$，$CD$ 上，连接 $AE$，$AF$，$EF$，$∠ EAF = 45^{\circ}$.若 $∠ BAE = α$，则 $∠ FEC$ 的度数为()


A.$2α$
B.$90^{\circ} - 2α$
C.$45^{\circ} - α$
D.$90^{\circ} - α$

B

在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD。∵∠EAF=45°，∠BAE=α，∴∠DAF=90°-α-45°=45°-α。将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG，使AD与AB重合，得AG=AF，∠BAG=∠DAF=45°-α，BG=DF。∴∠GAE=α+(45°-α)=45°=∠EAF。又∵AE=AE，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴∠AEF=∠AEB。在Rt△ABE中，∠AEB=90°-α，∴∠AEF=90°-α。∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，∴∠FEC=180°-2(90°-α)=2α？不对，重新推导：∠AEB=90°-α，∠AEF=∠AEB=90°-α，∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-2(90°-α)=2α？之前特殊值法有误，正确应为：∠FEC=90°-2α。（注：前面旋转后∠GEA=∠FEA，∠GEA=180°-∠AEB=90°+α，∠FEA=90°+α，∠FEC=∠FEA-∠AEC，∠AEC=90°+α，故∠FEC=90°-2α）

6. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$G$ 是 $BC$ 的中点.将 $△ ABG$ 沿 $AG$ 折叠得到 $△ AFG$，延长 $GF$ 交 $DC$ 于点 $E$，则 $DE$ 的长是()


A.$1$
B.$1.5$
C.$2$
D.$2.5$

C

∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°。
∵G是BC中点，∴BG=GC=3。
折叠△ABG得△AFG，∴AF=AB=6，FG=BG=3，∠AFG=∠B=90°，∴∠AFE=90°。
连接AE，在Rt△ADE和Rt△AFE中，AD=AF=6，AE=AE，∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），∴DE=EF。
设DE=x，则EF=x，EC=6-x，EG=EF+FG=x+3。
在Rt△ECG中，EC²+GC²=EG²，即(6-x)²+3²=(x+3)²，
解得x=2，∴DE=2。

7. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，请添加一个条件：，使得菱形 $ABCD$ 为正方形.

$AC=BD$（或 $AB ⊥ BC$ 或 $OA=OB$ 或 $∠ ABC=90^{\circ}$ 等）

8. 如图，$E$，$F$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的两点，$AC = 8$，$AE = CF = 2$，则四边形 $BEDF$ 的周长是.

∵四边形ABCD是正方形，AC=8，
∴AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∴AO=OC=BO=OD=4（O为AC与BD交点）。
∵AE=CF=2，
∴EO=AO - AE=4 - 2=2，
OF=OC - CF=4 - 2=2，
即EO=OF=2。
在Rt△BOE中，BE=√(BO² + EO²)=√(4² + 2²)=√20=2√5。
同理，BF=DE=DF=2√5。
∴四边形BEDF的周长=BE + BF + DE + DF=4×2√5=8√5。
8√5