5. 如图,有一张边长为$ b $的正方形纸板,将它的四个角各剪去边长为$ a $的正方形,然后将四周突出的部分折起,制成一个无盖的长方体纸盒。用$ M $表示其底面积与侧面积的差,则$ M $可因式分解为()。


A.$ (b - 6a)(b - 2a) $
B.$ (b - 3a)(b - 2a) $
C.$ (b - 5a)(b - a) $
D.$ (b - 2a)^2 $

A

由题意，长方体纸盒的高为$a$，底面边长为$b - 2a$。
底面积：$(b - 2a)^2$；
侧面积：$4 × a × (b - 2a) = 4a(b - 2a)$；
$M = (b - 2a)^2 - 4a(b - 2a) = (b - 2a)[(b - 2a) - 4a] = (b - 2a)(b - 6a)$。

6. 【数学应用】程老师在电子白板上写下一道题目：
先分解因式,再计算求值：
$ x^3 - x^2y - 2x^2 + 2xy $,其中$ x = 2 $。
小宇看到题目马上说:“没有给出$ y $的值,不能算出最终结果。”
小明反驳道:“不用给出$ y $的值就可以计算出最终结果。”
他们两人谁说得对? 请说明你的理由。

小明说得对。
分解因式：
$\begin{aligned}x^3 - x^2y - 2x^2 + 2xy&=x(x^2 - xy - 2x + 2y)\\&=x[(x^2 - xy) + (-2x + 2y)]\\&=x[x(x - y) - 2(x - y)]\\&=x(x - y)(x - 2)\end{aligned}$
当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，则原式$=2(x - y)×0 = 0$，结果与$y$无关，故不用给出$y$的值即可计算最终结果。

7. 【综合与实践】认真阅读下列因式分解的过程,回答所提出的问题：
$ 1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^2 $
$ = (1 + x)[1 + x + x(1 + x)] $
$ = (1 + x)^2(1 + x) $
$ = (1 + x)^3 $。
(1) 上述因式分解的方法是,共应用了次；
(2) 若因式分解$ 1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^2 + ··· + x(1 + x)^{2025} $,则需要应用上述方法次,因式分解后的结果是；
(3) 请用上述方法因式分解：$ 1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^2 + ··· + x(1 + x)^n $($ n $为正整数)。

(1)
提公因式法；$2$
(2)
$2025$；$(1 + x)^{2026}$
(3)
$\begin{aligned}&1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^2 + ··· + x(1 + x)^n\\=&(1 + x)[1 + x + x(1 + x) + x(1 + x)^2 + ··· + x(1 + x)^{n - 1}]\\=&(1 + x)^2[1 + x + x(1 + x) + ··· + x(1 + x)^{n - 2}]\\=&···\\=&(1 + x)^n(1 + x)\\=&(1 + x)^{n + 1}\end{aligned}$