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1. 把乘法公式$(a + b)(a - b) =$反过来，就得到。利用它可以把某些多项式因式分解，其中$a$，$b$可以是单项式，也可以是。
答案
$a^2 - b^2$；$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$；多项式
2. 当多项式的各项含有公因式时，通常先，然后再进一步因式分解，因式分解一定要分解到为止。
答案
提取公因式；每一个多项式因式都不能再分解
1. 下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是()。
A.$a^{2} + (-b)^{2}$
B.$5m^{2} - 20mn$
C.$-x^{2} - y^{2}$
D.$-x^{2} + 9$
A.$a^{2} + (-b)^{2}$
B.$5m^{2} - 20mn$
C.$-x^{2} - y^{2}$
D.$-x^{2} + 9$
答案
D
解析
平方差公式为$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，要看多项式是否能用平方差公式因式分解，需判断其是否符合两个数的平方差的形式。
选项A：$a^{2}+(-b)^{2}=a^{2}+b^{2}$，是两数的平方和，不能用平方差公式分解。
选项B：$5m^{2}-20mn$，可先提取公因式$5m$，得到$5m(m - 4n)$，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式分解。
选项C：$-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$，是两数平方和的相反数，不能用平方差公式分解。
选项D：$-x^{2}+9 = 9 - x^{2}$，符合$a^{2}-b^{2}$的形式，其中$a = 3$，$b = x$，可以用平方差公式分解为$(3 + x)(3 - x)$。
选项A：$a^{2}+(-b)^{2}=a^{2}+b^{2}$，是两数的平方和，不能用平方差公式分解。
选项B：$5m^{2}-20mn$，可先提取公因式$5m$，得到$5m(m - 4n)$，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式分解。
选项C：$-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$，是两数平方和的相反数，不能用平方差公式分解。
选项D：$-x^{2}+9 = 9 - x^{2}$，符合$a^{2}-b^{2}$的形式，其中$a = 3$，$b = x$，可以用平方差公式分解为$(3 + x)(3 - x)$。
2. 下列因式分解正确的是()。
A.$a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$
B.$x^{2} + 4y^{2} = (x + 2y)^{2}$
C.$2 - 8a^{2} = 2(1 + 2a)(1 - 2a)$
D.$x^{2} - 4y^{2} = (x + 4y)(x - 4y)$
A.$a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$
B.$x^{2} + 4y^{2} = (x + 2y)^{2}$
C.$2 - 8a^{2} = 2(1 + 2a)(1 - 2a)$
D.$x^{2} - 4y^{2} = (x + 4y)(x - 4y)$
答案
C
解析
选项A：根据平方差公式，$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)≠(a - b)^{2}$，所以选项A错误。
选项B：$(x + 2y)^{2}=x^{2}+4xy + 4y^{2}≠ x^{2}+4y^{2}$，所以选项B错误。
选项C：对$2 - 8a^{2}$提取公因式$2$可得$2(1 - 4a^{2})$，再根据平方差公式$1 - 4a^{2}=(1 + 2a)(1 - 2a)$，所以$2 - 8a^{2}=2(1 + 2a)(1 - 2a)$，选项C正确。
选项D：根据平方差公式$x^{2}-4y^{2}=(x + 2y)(x - 2y)≠(x + 4y)(x - 4y)$，所以选项D错误。
选项B：$(x + 2y)^{2}=x^{2}+4xy + 4y^{2}≠ x^{2}+4y^{2}$，所以选项B错误。
选项C：对$2 - 8a^{2}$提取公因式$2$可得$2(1 - 4a^{2})$，再根据平方差公式$1 - 4a^{2}=(1 + 2a)(1 - 2a)$，所以$2 - 8a^{2}=2(1 + 2a)(1 - 2a)$，选项C正确。
选项D：根据平方差公式$x^{2}-4y^{2}=(x + 2y)(x - 2y)≠(x + 4y)(x - 4y)$，所以选项D错误。
3. 因式分解$(x - 1)^{2} - 9$的结果是()。
A.$(x + 8)(x + 10)$
B.$(x + 2)(x - 4)$
C.$(x - 2)(x + 4)$
D.$(x - 10)(x + 8)$
A.$(x + 8)(x + 10)$
B.$(x + 2)(x - 4)$
C.$(x - 2)(x + 4)$
D.$(x - 10)(x + 8)$
答案
B
解析
原式可以利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解，
这里，$a = (x - 1)$，$b = 3$，
所以，$(x - 1)^{2} - 9 = (x - 1 + 3)(x - 1 - 3) = (x + 2)(x - 4)$。
这里，$a = (x - 1)$，$b = 3$，
所以，$(x - 1)^{2} - 9 = (x - 1 + 3)(x - 1 - 3) = (x + 2)(x - 4)$。
4. 因式分解：$m^{2} - 16 =$。
答案
$(m+4)(m-4)$
5. 把下列多项式因式分解：
(1) $16 - \frac{1}{25}m^{2}$；
(2) $(x + p)^{2} - (x + q)^{2}$；
(3) $x^{2}y - y^{3}$；
(4) $16(x - 1)^{2} - (x + 2)^{2}$。
(1) $16 - \frac{1}{25}m^{2}$；
(2) $(x + p)^{2} - (x + q)^{2}$；
(3) $x^{2}y - y^{3}$；
(4) $16(x - 1)^{2} - (x + 2)^{2}$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&16 - \frac{1}{25}m^{2}\\=&4^{2} - (\frac{1}{5}m)^{2}\\=&(4 + \frac{1}{5}m)(4 - \frac{1}{5}m)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x + p)^{2} - (x + q)^{2}\\=&[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]\\=&(2x + p + q)(p - q)\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&x^{2}y - y^{3}\\=&y(x^{2}-y^{2})\\=&y(x + y)(x - y)\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&16(x - 1)^{2} - (x + 2)^{2}\\=&[4(x - 1)]^{2}-(x + 2)^{2}\\=&[4(x - 1)+(x + 2)][4(x - 1)-(x + 2)]\\=&(4x-4+x + 2)(4x-4-x - 2)\\=&(5x - 2)(3x - 6)\\=&3(5x - 2)(x - 2)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&16 - \frac{1}{25}m^{2}\\=&4^{2} - (\frac{1}{5}m)^{2}\\=&(4 + \frac{1}{5}m)(4 - \frac{1}{5}m)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x + p)^{2} - (x + q)^{2}\\=&[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]\\=&(2x + p + q)(p - q)\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&x^{2}y - y^{3}\\=&y(x^{2}-y^{2})\\=&y(x + y)(x - y)\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&16(x - 1)^{2} - (x + 2)^{2}\\=&[4(x - 1)]^{2}-(x + 2)^{2}\\=&[4(x - 1)+(x + 2)][4(x - 1)-(x + 2)]\\=&(4x-4+x + 2)(4x-4-x - 2)\\=&(5x - 2)(3x - 6)\\=&3(5x - 2)(x - 2)\end{aligned}$
