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1. 直角三角形两条直角边的长分别为$9$和$12$，则斜边长为()
A.$13$
B.$14$
C.$3\sqrt{7}$
D.$15$
A.$13$
B.$14$
C.$3\sqrt{7}$
D.$15$
答案
D
解析
在直角三角形中，根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
已知直角边分别为$9$和$12$，则斜边长$c$满足：
$c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$。
已知直角边分别为$9$和$12$，则斜边长$c$满足：
$c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$。
2. 在$△ ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，$AB = 5$，$AD = 3$，则$BC$的长为()
A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案
C
解析
在等腰三角形$△ABC$中，$AB=AC$，$AD$为$BC$边上的中线。
根据等腰三角形三线合一性质，$AD⊥BC$，且$BD=DC=\frac{BC}{2}$。
在直角三角形$△ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$。
故$BC=2BD=8$。
根据等腰三角形三线合一性质，$AD⊥BC$，且$BD=DC=\frac{BC}{2}$。
在直角三角形$△ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$。
故$BC=2BD=8$。
3. 如图，数字代表其所在正方形的面积，则$A$所代表的正方形的面积为.
答案
25
解析
由图可知，面积为9和16的正方形的边长分别是直角三角形的两条直角边，A所代表的正方形的边长是该直角三角形的斜边。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以A的面积为9+16=25。
4. 如图，带阴影的长方形面积是.
答案
45
解析
由图可知，直角三角形的一条直角边为8cm，斜边为17cm，设另一条直角边为x cm。根据勾股定理，得$x^2 + 8^2 = 17^2$，即$x^2 = 289 - 64 = 225$，解得$x = 15$（负值舍去）。此直角边长度即为阴影长方形的长，长方形宽为3cm，所以面积为$15×3 = 45cm^2$。
5. 在$Rt△ ABC$中，$∠B = 90^{\circ}$，两直角边长分别为$a$和$c$，斜边长为$b$.
（1）已知$a = 1$，$c = 2$，求$b$；
（2）已知$c = 40$，$b = 41$，求$a$；
（3）已知$a:b = 2:3$，$c = 5$，求$a$.
（1）已知$a = 1$，$c = 2$，求$b$；
（2）已知$c = 40$，$b = 41$，求$a$；
（3）已知$a:b = 2:3$，$c = 5$，求$a$.
答案
（1）
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$a^{2} + c^{2} = b^{2}$。
已知$a = 1$，$c = 2$，则$b = \sqrt{a^{2}+c^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
（2）
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理$a^{2} + c^{2} = b^{2}$，可得$a=\sqrt{b^{2}-c^{2}}$。
已知$c = 40$，$b = 41$，则$a = \sqrt{41^{2}-40^{2}}=\sqrt{(41 + 40)×(41 - 40)}=\sqrt{81}=9$。
（3）
设$a = 2x$，因为$a:b = 2:3$，则$b = 3x(x＞0)$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理$a^{2} + c^{2} = b^{2}$，已知$c = 5$，可得$(2x)^{2}+5^{2}=(3x)^{2}$。
即$4x^{2}+25 = 9x^{2}$，$5x^{2}=25$，$x^{2}=5$，因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{5}$。
则$a = 2x = 2\sqrt{5}$。
综上，答案依次为：（1）$\sqrt{5}$；（2）$9$；（3）$2\sqrt{5}$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$a^{2} + c^{2} = b^{2}$。
已知$a = 1$，$c = 2$，则$b = \sqrt{a^{2}+c^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
（2）
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理$a^{2} + c^{2} = b^{2}$，可得$a=\sqrt{b^{2}-c^{2}}$。
已知$c = 40$，$b = 41$，则$a = \sqrt{41^{2}-40^{2}}=\sqrt{(41 + 40)×(41 - 40)}=\sqrt{81}=9$。
（3）
设$a = 2x$，因为$a:b = 2:3$，则$b = 3x(x＞0)$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理$a^{2} + c^{2} = b^{2}$，已知$c = 5$，可得$(2x)^{2}+5^{2}=(3x)^{2}$。
即$4x^{2}+25 = 9x^{2}$，$5x^{2}=25$，$x^{2}=5$，因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{5}$。
则$a = 2x = 2\sqrt{5}$。
综上，答案依次为：（1）$\sqrt{5}$；（2）$9$；（3）$2\sqrt{5}$。
6. 如图，分别以$Rt△ ABC$的三边为一边向外作正方形，其面积分别为$S_{1},S_{2}$，$S_{3}$，且$S_{1} = 4$，$S_{2} = 11$，则$S_{3} =$；分别以$Rt△ ABC$的三边为一边向外作等边三角形，其面积分别为$S_{4},S_{5},S_{6}$，则$S_{4},S_{5},S_{6}$三者之间的关系为.
答案
1. $15$ ；2. $S_4+S_5=S_6$。
解析
1. 根据题意，以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为 $S_1, S_2, S_3$，已知 $S_1 = 4$，$S_2 = 11$。
由勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即 $S_1 + S_2 = S_3$（这里的$S_1,S_2,S_3$实际代表的是直角三角形两直角边的平方和斜边的平方，但由题意知其也等于对应正方形的面积）。
代入已知值，$S_3 = 4 + 11 = 15$。
2. 分别以$Rt \bigtriangleup ABC$的三边为一边向外作等边三角形，其面积分别为 $S_4, S_5, S_6$。
设直角三角形$ABC$的边$AC = a$，$BC = b$，$AB = c$。
则等边三角形 $S_4, S_5, S_6$ 的面积可分别表示为：
$S_4 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，
$S_5 = \frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，
$S_6 = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，
由勾股定理，$a^2 + b^2 = c^2$。
代入面积公式，得 $S_4 + S_5 = S_6$。
由勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即 $S_1 + S_2 = S_3$（这里的$S_1,S_2,S_3$实际代表的是直角三角形两直角边的平方和斜边的平方，但由题意知其也等于对应正方形的面积）。
代入已知值，$S_3 = 4 + 11 = 15$。
2. 分别以$Rt \bigtriangleup ABC$的三边为一边向外作等边三角形，其面积分别为 $S_4, S_5, S_6$。
设直角三角形$ABC$的边$AC = a$，$BC = b$，$AB = c$。
则等边三角形 $S_4, S_5, S_6$ 的面积可分别表示为：
$S_4 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，
$S_5 = \frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，
$S_6 = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，
由勾股定理，$a^2 + b^2 = c^2$。
代入面积公式，得 $S_4 + S_5 = S_6$。
