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1. 下列式子中，属于最简二次根式的是()
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{a^{2}}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{a^{2}}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$
答案
A
解析
最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式。A选项$\sqrt{5}$，被开方数5是整数且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；B选项$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；C选项$\sqrt{a^{2}}=|a|$，含能开得尽方的因式$a^2$，不是最简二次根式；D选项$\sqrt{\dfrac{1}{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
2. 若式子$\sqrt{2x + 1}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是()
A.$x≤ -\dfrac{1}{2}$
B.$x≥ -\dfrac{1}{2}$
C.$x ＜ -\dfrac{1}{2}$
D.$x ＞ -\dfrac{1}{2}$
A.$x≤ -\dfrac{1}{2}$
B.$x≥ -\dfrac{1}{2}$
C.$x ＜ -\dfrac{1}{2}$
D.$x ＞ -\dfrac{1}{2}$
答案
B
解析
要使式子 $\sqrt{2x + 1}$ 在实数范围内有意义，必须满足被开方数非负，即：
$2x + 1 ≥ 0$
解这个不等式：
$2x ≥ -1$
$x ≥ -\frac{1}{2}$
因此，$x$ 的取值范围是 $x ≥ -\frac{1}{2}$。
$2x + 1 ≥ 0$
解这个不等式：
$2x ≥ -1$
$x ≥ -\frac{1}{2}$
因此，$x$ 的取值范围是 $x ≥ -\frac{1}{2}$。
3. 下列各组二次根式中，不可以合并的一组是()
A.$\sqrt{\dfrac{1}{8}}$和$3\sqrt{2}$
B.$\sqrt{24}$和$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
C.$\sqrt{0.75}$和$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{27}$和$\sqrt{54}$
A.$\sqrt{\dfrac{1}{8}}$和$3\sqrt{2}$
B.$\sqrt{24}$和$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
C.$\sqrt{0.75}$和$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{27}$和$\sqrt{54}$
答案
D
解析
A. $\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，与$3\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并；
B. $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，是同类二次根式，可以合并；
C. $\sqrt{0.75}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，是同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，不是同类二次根式，不可以合并。
B. $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，是同类二次根式，可以合并；
C. $\sqrt{0.75}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，是同类二次根式，可以合并；
D. $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，不是同类二次根式，不可以合并。
4. 计算$(\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6})$的结果是()
A.2
B.4
C.6
D.8
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
B
解析
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将$a = \sqrt{10}$，$b = \sqrt{6}$代入可得：
$(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{6})^2=10 - 6 = 4$。
$(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{6})^2=10 - 6 = 4$。
5. 若$|a - \sqrt{3}| + \sqrt{9a^{2} - 12ab + 4b^{2}} = 0$，则$ab$的值为()
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.9
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.9
答案
B
解析
因为|a - √3|和√(9a² - 12ab + 4b²)均为非负数，且它们的和为0，所以两者分别为0。
由|a - √3| = 0，得a = √3。
又9a² - 12ab + 4b² = (3a - 2b)²，故√(9a² - 12ab + 4b²) = |3a - 2b| = 0，即3a - 2b = 0。
将a = √3代入3a - 2b = 0，得3√3 - 2b = 0，解得b = (3√3)/2。
则ab = √3 × (3√3)/2 = (3×3)/2 = 9/2。
由|a - √3| = 0，得a = √3。
又9a² - 12ab + 4b² = (3a - 2b)²，故√(9a² - 12ab + 4b²) = |3a - 2b| = 0，即3a - 2b = 0。
将a = √3代入3a - 2b = 0，得3√3 - 2b = 0，解得b = (3√3)/2。
则ab = √3 × (3√3)/2 = (3×3)/2 = 9/2。
6. 计算$(\sqrt{8} - \sqrt{32}) ÷ \sqrt{2}$的结果是()
A.2
B.$-2$
C.$-2\sqrt{2}$
D.$-4\sqrt{2}$
A.2
B.$-2$
C.$-2\sqrt{2}$
D.$-4\sqrt{2}$
答案
B
解析
$(\sqrt{8} - \sqrt{32}) ÷ \sqrt{2} = (\sqrt{8}÷\sqrt{2}) - (\sqrt{32}÷\sqrt{2}) = \sqrt{4} - \sqrt{16} = 2 - 4 = -2$
