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7. 如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成正方形$ABCD$。已知正方形$ABCD$的面积是 75，$AE = 3\sqrt{3}$，图中阴影部分是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为()
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
B
解析
∵正方形ABCD的面积是75，∴其边长为√75=5√3，即AB=5√3。设长方形的长为a，宽为b，由题意知大正方形边长为a+b，故a+b=5√3。∵AE=3√3，且AE为长方形的长，即a=3√3，∴b=5√3 - a=5√3 - 3√3=2√3。阴影小正方形边长为a - b=3√3 - 2√3=√3，其周长为4×√3=4√3。
8. 若$x = \sqrt{2} + 1$，则代数式$x^{2} - 2x + 2$的值为()
A.7
B.4
C.3
D.$3 - 2\sqrt{2}$
A.7
B.4
C.3
D.$3 - 2\sqrt{2}$
答案
C
解析
因为$x = \sqrt{2} + 1$，所以$x - 1 = \sqrt{2}$。两边平方得$(x - 1)^2 = (\sqrt{2})^2$，即$x^2 - 2x + 1 = 2$。则$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = 2 + 1 = 3$。
9. 已知$x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{7}$，则$x - \dfrac{1}{x}$的值为()
A.$\sqrt{3}$
B.$\pm 2$
C.$\pm \sqrt{3}$
D.$\sqrt{7}$
A.$\sqrt{3}$
B.$\pm 2$
C.$\pm \sqrt{3}$
D.$\sqrt{7}$
答案
C
解析
已知 $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{7}$，设 $y = x - \dfrac{1}{x}$。
对 $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{7}$ 两边平方得：
$(x + \dfrac{1}{x})^2 = 7 \implies x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 7 \implies x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 5.$$ 再对 $y = x - \dfrac{1}{x}$ 两边平方得： $y^2 = (x - \dfrac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = (x^2 + \dfrac{1}{x^2}) - 2 = 5 - 2 = 3.$$
因此 $y = \pm \sqrt{3}$，即 $x - \dfrac{1}{x} = \pm \sqrt{3}$。
10. 设$6 - \sqrt{10}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$(2a + \sqrt{10})b$的值是()
A.6
B.$2\sqrt{10}$
C.12
D.$9\sqrt{10}$
A.6
B.$2\sqrt{10}$
C.12
D.$9\sqrt{10}$
答案
A
解析
首先，需确定$\sqrt{10}$的整数部分。
因为$3^2 = 9 ＜ 10$，$4^2 = 16 ＞ 10$，所以$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
$\sqrt{10}$的整数部分为$3$，
所以$6 - \sqrt{10}$的整数部分$a = 6 - 4 = 2$（因为$\sqrt{10}$不足$4$，所以$6 - \sqrt{10}$的整数部分是从$6 - 4$得来的），
小数部分$b = 6 - \sqrt{10} - 2 = 4 - \sqrt{10}$的（或$b = 6 - \sqrt{10} - a$），
然后代入表达式计算：
$(2a + \sqrt{10})b$
$= (2 × 2 + \sqrt{10})(4 - \sqrt{10})$
$= (4 + \sqrt{10})(4 - \sqrt{10})$
利用平方差公式：
$= 4^2 - (\sqrt{10})^2$
$= 16 - 10$
$= 6$
因为$3^2 = 9 ＜ 10$，$4^2 = 16 ＞ 10$，所以$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
$\sqrt{10}$的整数部分为$3$，
所以$6 - \sqrt{10}$的整数部分$a = 6 - 4 = 2$（因为$\sqrt{10}$不足$4$，所以$6 - \sqrt{10}$的整数部分是从$6 - 4$得来的），
小数部分$b = 6 - \sqrt{10} - 2 = 4 - \sqrt{10}$的（或$b = 6 - \sqrt{10} - a$），
然后代入表达式计算：
$(2a + \sqrt{10})b$
$= (2 × 2 + \sqrt{10})(4 - \sqrt{10})$
$= (4 + \sqrt{10})(4 - \sqrt{10})$
利用平方差公式：
$= 4^2 - (\sqrt{10})^2$
$= 16 - 10$
$= 6$
11. 计算$\sqrt{2} × \sqrt{3} - \sqrt{24}$的结果是。
答案
$\sqrt{2} × \sqrt{3} - \sqrt{24} $
$= \sqrt{2 × 3} - \sqrt{4 × 6} $
$= \sqrt{6} - 2\sqrt{6} $
$= - \sqrt{6}$
故答案为：$- \sqrt{6}$。
$= \sqrt{2 × 3} - \sqrt{4 × 6} $
$= \sqrt{6} - 2\sqrt{6} $
$= - \sqrt{6}$
故答案为：$- \sqrt{6}$。
12. 设$\sqrt{2} = a$，$\sqrt{3} = b$，用含$a$，$b$的式子表示$\sqrt{0.54}$为。
答案
3ab/10
解析
√0.54 = √(54/100) = √54 / √100 = √(9×6)/10 = (3√6)/10
∵√6 = √(2×3) = √2·√3 = ab
∴√0.54 = 3ab/10
∵√6 = √(2×3) = √2·√3 = ab
∴√0.54 = 3ab/10
13. 若实数$x$，$y$满足$\sqrt{x - 2} + (y - \sqrt{3})^{2} = 0$，则$xy$的值为。
答案
因为$\sqrt{x - 2} ≥ 0$，$(y - \sqrt{3})^{2} ≥ 0$，且$\sqrt{x - 2} + (y - \sqrt{3})^{2} = 0$。
所以$\sqrt{x - 2} = 0$，$(y - \sqrt{3})^{2} = 0$。
即$x - 2 = 0$，$y - \sqrt{3} = 0$。
解得$x = 2$，$y = \sqrt{3}$。
所以$xy = 2\sqrt{3}$。
故答案为$2\sqrt{3}$。
所以$\sqrt{x - 2} = 0$，$(y - \sqrt{3})^{2} = 0$。
即$x - 2 = 0$，$y - \sqrt{3} = 0$。
解得$x = 2$，$y = \sqrt{3}$。
所以$xy = 2\sqrt{3}$。
故答案为$2\sqrt{3}$。
14. 计算：$(2\sqrt{48} - 3\sqrt{27}) ÷ \sqrt{6} =$。
答案
首先，将原式中的各项化为最简二次根式：
$2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 × 3} = 2 × 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$，
$3\sqrt{27} = 3\sqrt{9 × 3} = 3 × 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$，
将化简后的二次根式代入原式，得到：
$(8\sqrt{3} - 9\sqrt{3}) ÷ \sqrt{6}$
$= (-\sqrt{3}) ÷ \sqrt{6}$
$= -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$
$= -\frac{\sqrt{3} × \sqrt{6}}{\sqrt{6}× \sqrt{6}}$
$= -\frac{\sqrt{18}}{6}$
$= -\frac{3\sqrt{2}}{6}$
$= -\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 × 3} = 2 × 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$，
$3\sqrt{27} = 3\sqrt{9 × 3} = 3 × 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$，
将化简后的二次根式代入原式，得到：
$(8\sqrt{3} - 9\sqrt{3}) ÷ \sqrt{6}$
$= (-\sqrt{3}) ÷ \sqrt{6}$
$= -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$
$= -\frac{\sqrt{3} × \sqrt{6}}{\sqrt{6}× \sqrt{6}}$
$= -\frac{\sqrt{18}}{6}$
$= -\frac{3\sqrt{2}}{6}$
$= -\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
15. 计算：$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2} =$。
答案
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
解析
解：原式$=[(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})](\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=[(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}](\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=(3 - 2)(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$=[(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}](\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=(3 - 2)(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
16. 比较大小：$-2\sqrt{7}\_\_\_\_\_\_-4\sqrt{2}$。(填“$＞$”或“$＜$”)
答案
比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值。
$\vert -2\sqrt{7}\vert = 2\sqrt{7} = \sqrt{4×7} = \sqrt{28}$
$\vert -4\sqrt{2}\vert = 4\sqrt{2} = \sqrt{16×2} = \sqrt{32}$
因为$\sqrt{28} ＜ \sqrt{32}$，所以$2\sqrt{7} ＜ 4\sqrt{2}$，则$-2\sqrt{7} ＞ -4\sqrt{2}$
$＞$
$\vert -2\sqrt{7}\vert = 2\sqrt{7} = \sqrt{4×7} = \sqrt{28}$
$\vert -4\sqrt{2}\vert = 4\sqrt{2} = \sqrt{16×2} = \sqrt{32}$
因为$\sqrt{28} ＜ \sqrt{32}$，所以$2\sqrt{7} ＜ 4\sqrt{2}$，则$-2\sqrt{7} ＞ -4\sqrt{2}$
$＞$
17. 设$x = \sqrt{2} × \sqrt{12} - 2$，$m ＜ x ＜ m + 1$，$m$为整数，则$m$的值是。
答案
$x=\sqrt{2}×\sqrt{12}-2$
$=\sqrt{2×12}-2$
$=\sqrt{24}-2$
$=2\sqrt{6}-2$
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，所以$4＜2\sqrt{6}＜6$，则$4 - 2＜2\sqrt{6}-2＜6 - 2$，即$2＜x＜4$。
又因为$\sqrt{6}\approx2.449$，所以$2\sqrt{6}\approx4.898$，$x\approx4.898 - 2=2.898$。
因为$m＜x＜m + 1$，$m$为整数，所以$m=2$。
2
$=\sqrt{2×12}-2$
$=\sqrt{24}-2$
$=2\sqrt{6}-2$
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，所以$4＜2\sqrt{6}＜6$，则$4 - 2＜2\sqrt{6}-2＜6 - 2$，即$2＜x＜4$。
又因为$\sqrt{6}\approx2.449$，所以$2\sqrt{6}\approx4.898$，$x\approx4.898 - 2=2.898$。
因为$m＜x＜m + 1$，$m$为整数，所以$m=2$。
2
18. 观察分析下列数据：$0$，$-\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，$-3$，$2\sqrt{3}$，$-\sqrt{15}$，$3\sqrt{2}$，$···$，根据其中的规律得到的第 16 个数应是。(结果需化简)
答案
1. 分析符号规律：奇数项（第1,3,5,7…项）为正，偶数项（第2,4,6…项）为负，第n项符号为$(-1)^{n+1}$。
2. 分析根号内数字规律：将各项化为根号形式：$\sqrt{0}, -\sqrt{3}, \sqrt{6}, -\sqrt{9}, \sqrt{12}, -\sqrt{15}, \sqrt{18}, ···$，根号内数字为$0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ···$，是首项为0，公差为3的等差数列，第n项根号内数字为$3(n-1)$。
3. 第n项表达式：$(-1)^{n+1}\sqrt{3(n-1)}$。
4. 求第16个数：n=16时，符号为$(-1)^{16+1}=-1$，根号内数字为$3(16-1)=45$，则第16个数为$-\sqrt{45}=-3\sqrt{5}$。
-3√5
2. 分析根号内数字规律：将各项化为根号形式：$\sqrt{0}, -\sqrt{3}, \sqrt{6}, -\sqrt{9}, \sqrt{12}, -\sqrt{15}, \sqrt{18}, ···$，根号内数字为$0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ···$，是首项为0，公差为3的等差数列，第n项根号内数字为$3(n-1)$。
3. 第n项表达式：$(-1)^{n+1}\sqrt{3(n-1)}$。
4. 求第16个数：n=16时，符号为$(-1)^{16+1}=-1$，根号内数字为$3(16-1)=45$，则第16个数为$-\sqrt{45}=-3\sqrt{5}$。
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