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8. 已知$\frac{x - 4}{x + 4} = 0$，求$\frac{x^{2}}{x - 5} + \frac{25}{5 - x}$的值.
答案
8. 9
解析
【解析】
1. 求解$x$的值：
因为$\frac{x - 4}{x + 4} = 0$，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），可得：
$x - 4 = 0$且$x + 4 ≠ 0$，解得$x = 4$。
2. 化简所求代数式：
$\frac{x^{2}}{x - 5} + \frac{25}{5 - x} = \frac{x^{2}}{x - 5} - \frac{25}{x - 5} = \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$
对分子利用平方差公式因式分解：$x^{2} - 25 = (x - 5)(x + 5)$，则原式$=\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$（$x ≠ 5$）。
3. 代入计算：
将$x = 4$代入$x + 5$，得$4 + 5 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
分式值为0的条件；分式化简求值；平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，需先根据分式值为0的条件确定$x$的取值，再通过转化分母符号、因式分解对所求分式化简，最后代入计算，过程中要注意分式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
1. 求解$x$的值：
因为$\frac{x - 4}{x + 4} = 0$，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），可得：
$x - 4 = 0$且$x + 4 ≠ 0$，解得$x = 4$。
2. 化简所求代数式：
$\frac{x^{2}}{x - 5} + \frac{25}{5 - x} = \frac{x^{2}}{x - 5} - \frac{25}{x - 5} = \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$
对分子利用平方差公式因式分解：$x^{2} - 25 = (x - 5)(x + 5)$，则原式$=\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$（$x ≠ 5$）。
3. 代入计算：
将$x = 4$代入$x + 5$，得$4 + 5 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
分式值为0的条件；分式化简求值；平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，需先根据分式值为0的条件确定$x$的取值，再通过转化分母符号、因式分解对所求分式化简，最后代入计算，过程中要注意分式有意义的条件。
【难度系数】
0.6
9. 若分式$\frac{x^{2}}{x - 1}□\frac{x}{x - 1}$的运算结果为$x$，则在“$□$”添加的运算符号为(
A.$+$
B.$×$
C.$+$或$×$
D.$-$或$÷$
D
)A.$+$
B.$×$
C.$+$或$×$
D.$-$或$÷$
答案
9. D
解析
【解析】
分别将各运算符号代入计算：
1. 若添加“$+$”：$\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} = \frac{x^2+x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{x-1} ≠ x$；
2. 若添加“$×$”：$\frac{x^{2}}{x - 1} × \frac{x}{x - 1} = \frac{x^3}{(x-1)^2} ≠ x$；
3. 若添加“$-$”：$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{x^2 - x}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} = x$（$x≠1$）；
4. 若添加“$÷$”：$\frac{x^{2}}{x - 1} ÷ \frac{x}{x - 1} = \frac{x^2}{x-1} × \frac{x-1}{x} = x$（$x≠1$且$x≠0$）。
因此添加的运算符号为“$-$”或“$÷$”。
【答案】
D
【知识点】
分式的四则运算
【点评】
本题考查分式的四则运算，需逐个代入运算符号验证结果，同时要注意分式运算中分母不为0的限制条件，避免错解。
【难度系数】
0.6
分别将各运算符号代入计算：
1. 若添加“$+$”：$\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} = \frac{x^2+x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{x-1} ≠ x$；
2. 若添加“$×$”：$\frac{x^{2}}{x - 1} × \frac{x}{x - 1} = \frac{x^3}{(x-1)^2} ≠ x$；
3. 若添加“$-$”：$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{x^2 - x}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} = x$（$x≠1$）；
4. 若添加“$÷$”：$\frac{x^{2}}{x - 1} ÷ \frac{x}{x - 1} = \frac{x^2}{x-1} × \frac{x-1}{x} = x$（$x≠1$且$x≠0$）。
因此添加的运算符号为“$-$”或“$÷$”。
【答案】
D
【知识点】
分式的四则运算
【点评】
本题考查分式的四则运算，需逐个代入运算符号验证结果，同时要注意分式运算中分母不为0的限制条件，避免错解。
【难度系数】
0.6
10. 已知$\frac{Ax + B}{x - 3} = \frac{5x}{x - 3} + \frac{3x - 1}{3 - x}$，则$A =$
2
，$B =$1
.答案
10. 2 1
解析
【解析】
首先对等式右边的分式进行变形：
因为$3 - x = -(x - 3)$，所以$\frac{3x - 1}{3 - x}=-\frac{3x - 1}{x - 3}$。
等式右边合并计算：
$\frac{5x}{x - 3} + \frac{3x - 1}{3 - x}=\frac{5x}{x - 3} - \frac{3x - 1}{x - 3}=\frac{5x - (3x - 1)}{x - 3}=\frac{2x + 1}{x - 3}$。
由于等式左右两边分母相同且等式成立，因此分子对应相等，即$Ax + B = 2x + 1$。
根据整式相等的系数对应关系，可得$A = 2$，$B = 1$。
【答案】
2；1
【知识点】
分式的加减运算，整式相等的条件
【点评】
本题考查分式的变形与运算，以及利用分式相等的条件求参数，需注意分母互为相反数时的符号处理，熟练掌握分式运算规则是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先对等式右边的分式进行变形：
因为$3 - x = -(x - 3)$，所以$\frac{3x - 1}{3 - x}=-\frac{3x - 1}{x - 3}$。
等式右边合并计算：
$\frac{5x}{x - 3} + \frac{3x - 1}{3 - x}=\frac{5x}{x - 3} - \frac{3x - 1}{x - 3}=\frac{5x - (3x - 1)}{x - 3}=\frac{2x + 1}{x - 3}$。
由于等式左右两边分母相同且等式成立，因此分子对应相等，即$Ax + B = 2x + 1$。
根据整式相等的系数对应关系，可得$A = 2$，$B = 1$。
【答案】
2；1
【知识点】
分式的加减运算，整式相等的条件
【点评】
本题考查分式的变形与运算，以及利用分式相等的条件求参数，需注意分母互为相反数时的符号处理，熟练掌握分式运算规则是解题关键。
【难度系数】
0.7
11. 已知$a$，$b$是实数，且$ab = 1$，设$P = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$，$Q = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$，则$P\_\_\_\_\_\_Q$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
答案
11. =
解析
【解析】
先对$P$和$Q$分别通分化简：
对于$P = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$，通分可得：
$P=\frac{a(b+1)+b(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{ab+a+ab+b}{(a+1)(b+1)}$，
将$ab=1$代入得：
$P=\frac{1+a+1+b}{(a+1)(b+1)}=\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$。
对于$Q = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$，通分可得：
$Q=\frac{(b+1)+(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$。
因此$P=Q$。
【答案】
=
【知识点】
分式的加减运算，分式化简求值
【点评】
本题考查分式的加减运算与化简求值，利用已知条件$ab=1$代入通分后的式子化简，即可快速比较$P$与$Q$的大小，解题思路直接，难度较低。
【难度系数】
0.8
先对$P$和$Q$分别通分化简：
对于$P = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$，通分可得：
$P=\frac{a(b+1)+b(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{ab+a+ab+b}{(a+1)(b+1)}$，
将$ab=1$代入得：
$P=\frac{1+a+1+b}{(a+1)(b+1)}=\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$。
对于$Q = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$，通分可得：
$Q=\frac{(b+1)+(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$。
因此$P=Q$。
【答案】
=
【知识点】
分式的加减运算，分式化简求值
【点评】
本题考查分式的加减运算与化简求值，利用已知条件$ab=1$代入通分后的式子化简，即可快速比较$P$与$Q$的大小，解题思路直接，难度较低。
【难度系数】
0.8
12. 计算：
（1）$\frac{3a}{a - 4b} + \frac{a + b}{4b - a} - \frac{7b}{a - 4b}$.
（2）$\frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{2ab}{b^{2} - a^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$.
（1）$\frac{3a}{a - 4b} + \frac{a + b}{4b - a} - \frac{7b}{a - 4b}$.
（2）$\frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{2ab}{b^{2} - a^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$.
答案
12. (1) 2 (2) $ \frac{a - b}{a + b} $
解析
【解析】
（1）先将分母统一为$a - 4b$：
$\frac{3a}{a - 4b} + \frac{a + b}{4b - a} - \frac{7b}{a - 4b}$
$=\frac{3a}{a - 4b} - \frac{a + b}{a - 4b} - \frac{7b}{a - 4b}$
$=\frac{3a - (a + b) - 7b}{a - 4b}$
$=\frac{3a - a - b - 7b}{a - 4b}$
$=\frac{2(a - 4b)}{a - 4b}$
$=2$
（2）先将分母统一为$a^2 - b^2$：
$\frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{2ab}{b^{2} - a^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$
$=\frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{2ab}{a^{2} - b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$
$=\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$
$=\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{a - b}{a + b}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{\frac{a - b}{a + b}}$
【知识点】
分式加减运算，因式分解约分
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是通过变号将异分母分式转化为同分母分式，运算时注意分子符号的变化，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.6
（1）先将分母统一为$a - 4b$：
$\frac{3a}{a - 4b} + \frac{a + b}{4b - a} - \frac{7b}{a - 4b}$
$=\frac{3a}{a - 4b} - \frac{a + b}{a - 4b} - \frac{7b}{a - 4b}$
$=\frac{3a - (a + b) - 7b}{a - 4b}$
$=\frac{3a - a - b - 7b}{a - 4b}$
$=\frac{2(a - 4b)}{a - 4b}$
$=2$
（2）先将分母统一为$a^2 - b^2$：
$\frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{2ab}{b^{2} - a^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$
$=\frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} - \frac{2ab}{a^{2} - b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$
$=\frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$
$=\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{a - b}{a + b}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{\frac{a - b}{a + b}}$
【知识点】
分式加减运算，因式分解约分
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是通过变号将异分母分式转化为同分母分式，运算时注意分子符号的变化，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.6
