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9. 若一个凸多边形的内角和是外角和的 3 倍,则该多边形的边数为.
答案
设该凸多边形的边数为$n$。
根据凸多边形的内角和定理，其内角和为$(n - 2) × 180{°}$。
又根据题意，凸多边形的外角和总是$360{°}$，且该凸多边形的内角和是外角和的3倍，即：
$(n - 2) × 180{°} = 3 × 360{°}$，
化简方程，得：
$(n - 2) × 180{°} = 1080{°}$，
$n - 2 = 6$，
$n = 8$。
故答案为：$8$。
根据凸多边形的内角和定理，其内角和为$(n - 2) × 180{°}$。
又根据题意，凸多边形的外角和总是$360{°}$，且该凸多边形的内角和是外角和的3倍，即：
$(n - 2) × 180{°} = 3 × 360{°}$，
化简方程，得：
$(n - 2) × 180{°} = 1080{°}$，
$n - 2 = 6$，
$n = 8$。
故答案为：$8$。
10. 若菱形的周长为 16 cm,两邻角的度数之比为$5:1$,则该菱形的面积为$cm^{2}$.
答案
∵菱形周长为16 cm，∴边长为16÷4=4 cm。
∵菱形两邻角互补，且度数之比为5:1，设两邻角分别为5x、x，
则5x+x=180°，解得x=30°，故较小内角为30°。
过菱形一顶点作高，在直角三角形中，高h=边长×sin30°=4×0.5=2 cm。
∴菱形面积=底×高=4×2=8 cm²。
8
∵菱形两邻角互补，且度数之比为5:1，设两邻角分别为5x、x，
则5x+x=180°，解得x=30°，故较小内角为30°。
过菱形一顶点作高，在直角三角形中，高h=边长×sin30°=4×0.5=2 cm。
∴菱形面积=底×高=4×2=8 cm²。
8
11. 如图,$□ ABCD$的对角线 AC,BD 相交于点 O.若添加一个条件,使$□ ABCD$是矩形,则添加的条件可以是.
答案
添加的条件可以是：
1. $AC = BD$
2. $∠ ABC = 90°$（或$∠ BCD = 90°$或$∠ CDA = 90°$或$∠ DAB = 90°$）
1. $AC = BD$
2. $∠ ABC = 90°$（或$∠ BCD = 90°$或$∠ CDA = 90°$或$∠ DAB = 90°$）
12. 如图,在矩形 ABCD 中,M 为边 BC 上一点,连接 AM,过点 D 作$DE⊥AM$,垂足为 E.若$DE=DC=1,AE=2EM$,则 BM 的长为.
答案
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，∠B=90°，AD//BC，AD=BC。
∵DE⊥AM，∴∠AED=90°=∠B。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠AMB（内错角相等）。
∴△ADE∽△MAB（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{AE}{MB}=\frac{DE}{AB}$。
∵DE=AB=1，∴$\frac{AE}{MB}=1$，即AE=MB。
设EM=x，则AE=2x（AE=2EM），AM=AE+EM=3x，MB=AE=2x。
在Rt△ABM中，由勾股定理得：$AB^2 + BM^2 = AM^2$，即$1^2 + (2x)^2 = (3x)^2$。
化简得：$1 + 4x^2 = 9x^2$，$5x^2=1$，$x^2=\frac{1}{5}$，$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$（x＞0）。
∴BM=2x=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∵DE⊥AM，∴∠AED=90°=∠B。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠AMB（内错角相等）。
∴△ADE∽△MAB（两角对应相等，两三角形相似）。
∴$\frac{AE}{MB}=\frac{DE}{AB}$。
∵DE=AB=1，∴$\frac{AE}{MB}=1$，即AE=MB。
设EM=x，则AE=2x（AE=2EM），AM=AE+EM=3x，MB=AE=2x。
在Rt△ABM中，由勾股定理得：$AB^2 + BM^2 = AM^2$，即$1^2 + (2x)^2 = (3x)^2$。
化简得：$1 + 4x^2 = 9x^2$，$5x^2=1$，$x^2=\frac{1}{5}$，$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$（x＞0）。
∴BM=2x=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
13. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠C=30^{\circ }$,D,E 分别为 AC,BC 的中点,$DE=2$,过点 B 作$BF// AC$,交 DE 的延长线于点 F,则四边形 ABFD 的面积为.
答案
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90^{\circ}$，$∠ C=30^{\circ}$，D、E分别为AC、BC中点。
1. 中位线性质：DE是$△ ABC$中位线，$\therefore DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$。
$\because DE=2$，$\therefore AB=2DE=4$。
2. 平行四边形判定：$BF// AC$，$DF// AB$（DE延长线），$\therefore$四边形ABFD是平行四边形，$\therefore AD=BF$，$AB=DF=4$。
3. Rt△ABC边长计算：$∠ C=30^{\circ}$，$AB=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AC=2AB=8$，D为AC中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=4$。
由勾股定理，$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$，E为BC中点，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$。
4. 面积计算：平行四边形ABFD的高为BE（AB⊥BC，DF//AB$⇒$DF⊥BC），$\therefore$面积$=AB× BE=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
$8\sqrt{3}$
1. 中位线性质：DE是$△ ABC$中位线，$\therefore DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$。
$\because DE=2$，$\therefore AB=2DE=4$。
2. 平行四边形判定：$BF// AC$，$DF// AB$（DE延长线），$\therefore$四边形ABFD是平行四边形，$\therefore AD=BF$，$AB=DF=4$。
3. Rt△ABC边长计算：$∠ C=30^{\circ}$，$AB=\frac{1}{2}AC$，$\therefore AC=2AB=8$，D为AC中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=4$。
由勾股定理，$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$，E为BC中点，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$。
4. 面积计算：平行四边形ABFD的高为BE（AB⊥BC，DF//AB$⇒$DF⊥BC），$\therefore$面积$=AB× BE=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
$8\sqrt{3}$
14. 如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,沿 EF 翻折后,点 B 落在边 CD 上的点 G 处.若$EG⊥CD,BE=4,DG=3$,则 AE 的长为.
答案
设菱形边长为$ x $，$ AE = y $，则$ BE = 4 $，故$ x = y + 4 $。
由翻折性质知$ EG = BE = 4 $，且$ EG ⊥ CD $。
因为菱形对边平行，$ EG ⊥ CD $，所以$ EG ⊥ AB $，即$ EG $为菱形的高，长度为4。
过$ A $作$ AH ⊥ CD $于$ H $，则$ AH = EG = 4 $，四边形$ AEGH $为矩形，故$ HG = AE = y $。
已知$ DG = 3 $，则$ DH = DG - HG = 3 - y $。
在$ Rt△ AHD $中，$ AD^2 = AH^2 + DH^2 $，即$ x^2 = 4^2 + (3 - y)^2 $。
又$ x = y + 4 $，代入得$ (y + 4)^2 = 16 + (3 - y)^2 $。
展开：$ y^2 + 8y + 16 = 16 + 9 - 6y + y^2 $，化简得$ 14y = 9 $，解得$ y = \frac{9}{14} $。
$\frac{9}{14}$
由翻折性质知$ EG = BE = 4 $，且$ EG ⊥ CD $。
因为菱形对边平行，$ EG ⊥ CD $，所以$ EG ⊥ AB $，即$ EG $为菱形的高，长度为4。
过$ A $作$ AH ⊥ CD $于$ H $，则$ AH = EG = 4 $，四边形$ AEGH $为矩形，故$ HG = AE = y $。
已知$ DG = 3 $，则$ DH = DG - HG = 3 - y $。
在$ Rt△ AHD $中，$ AD^2 = AH^2 + DH^2 $，即$ x^2 = 4^2 + (3 - y)^2 $。
又$ x = y + 4 $，代入得$ (y + 4)^2 = 16 + (3 - y)^2 $。
展开：$ y^2 + 8y + 16 = 16 + 9 - 6y + y^2 $，化简得$ 14y = 9 $，解得$ y = \frac{9}{14} $。
$\frac{9}{14}$
