5. 如图,在$□ ABCD$中,E,F 分别是边 CD,AB 上的点,$AE// CF$,连接 BE 和 DF.若$AF=2BF$,四边形 BFDE 的面积是 3,则四边形 AFCE 的面积是()

A.4.5
B.5
C.6
D.6.5

C

设BF=x，则AF=2x，AB=AF+BF=3x。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3x，AB//CD。
∵AE//CF，AB//CD，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE=2x，∴DE=CD-CE=3x-2x=x=BF。
∵BF//DE（AB//CD）且BF=DE，∴四边形BFDE是平行四边形。
设平行四边形ABCD的高为h，四边形BFDE的面积=BF·h=x·h=3。
四边形AFCE的面积=AF·h=2x·h=2×(x·h)=2×3=6。

6. 如图,在矩形 ABCD 中,$AB=3,BC=4,BE// DF$且 BE 与 DF 之间的距离为 3,则 AE 的长是()

A.$\sqrt {7}$
B.$\frac {3}{8}$
C.$\frac {5}{8}$
D.$\frac {7}{8}$

D

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0),B(3,0),D(0,4)。设E(0,t)，则AE=t。BE斜率为(t-0)/(0-3)=-t/3。设F(3,s)，DF斜率为(s-4)/3。因BE//DF，故-t/3=(s-4)/3，得s=4-t，即F(3,4-t)。
BE方程：tx+3y-3t=0，DF方程：tx+3y-12=0。由距离公式得|12-3t|/√(t²+9)=3，平方化简得(4-t)²=t²+9，解得t=7/8。

7. 如图,在正方形 ABCD 中,$AB=1$,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,$AE=AF,∠EAF=60^{\circ }$,则 CF 的长是()

A.$\frac {\sqrt {3}+1}{2}$
B.$\frac {\sqrt {3}}{2}$
C.$\sqrt {3}-1$
D.$\frac {2}{3}$

C

设CF=x，正方形ABCD中，AB=AD=1，∠B=∠D=90°。
∵AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），则BE=DF。
∵CD=1，∴DF=1 - CF=1 - x，故BE=1 - x，EC=BC - BE=1 - (1 - x)=x。
∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF为等边三角形，EF=AE。
在Rt△ABE中，AE²=AB² + BE²=1 + (1 - x)²；
在Rt△ECF中，EF²=EC² + CF²=x² + x²=2x²。
∵EF=AE，∴1 + (1 - x)²=2x²，化简得x² + 2x - 2=0，解得x=-1+√3（负值舍去），即CF=√3 - 1。

8. 如图,在$□ ABCD$中,$AD=2AB=2,∠ABC=60^{\circ }$,E,F 是对角线 BD 上的动点,且$BE=DF$,M,N 分别是边 AD,BC 上的动点.有下列说法:① 存在无数个$□ MENF$;② 存在无数个矩形 MENF;③ 存在无数个菱形 MENF;④ 存在无数个正方形 MENF.其中正确的个数是()

A.1
B.2
C.3
D.4

C

1. 连接 $MN$，$EF$，$BD$，由于 $BE = DF$，故 $B$，$E$，$F$，$D$四点共面，且 $EF$ 可以平行于 $BC$ 或 $AB$ 等多种情况。四边形 $MENF$ 的稳定性依赖于 $M$，$N$，$E$，$F$ 的相对位置，可以有无数个平行四边形 $MENF$，故①正确。
2. 矩形要求 $MENF$ 的内角为 $90°$，由于 $M$，$N$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，且 $E$，$F$ 在 $BD$ 上，可以有无数个矩形 $MENF$，故②正确。
3. 菱形要求 $MENF$ 的四边相等，由于 $AD = 2AB = 2$，且 $∠ ABC = 60°$，可以有无数个菱形 $MENF$，故③正确。
4. 正方形要求 $MENF$ 的四边相等且内角为 $90°$，由于 $AD ≠ AB$，无法保证四边相等且角度为 $90°$，故④错误。