登录
二、填空题(共 3 小题)
8. 如图，如果∠A +
8. 如图，如果∠A +
∠B
= 180°，那么 AD//BC。答案
8. ∠B
解析
【分析】
要确定使$AD// BC$的角，需回忆平行线的判定定理。首先观察图形，$AD$和$BC$被$AB$所截，$∠ A$与$∠ B$是同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”的定理，当这两个角的和为$180°$时，可推出$AD// BC$，所以需要找的角是$∠ B$。
【解析】
根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行。
在图中，$AD$与$BC$被$AB$所截，$∠ A$和$∠ B$是同旁内角，当$∠ A + ∠ B = 180°$时，满足同旁内角互补的条件，因此$AD// BC$。
【答案】
$∠ B$
【知识点】
平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）
【点评】
本题主要考查平行线的判定定理的应用，解题关键是准确识别出$AD$、$BC$被$AB$所截形成的同旁内角，理解同旁内角互补与两直线平行的关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定使$AD// BC$的角，需回忆平行线的判定定理。首先观察图形，$AD$和$BC$被$AB$所截，$∠ A$与$∠ B$是同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”的定理，当这两个角的和为$180°$时，可推出$AD// BC$，所以需要找的角是$∠ B$。
【解析】
根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行。
在图中，$AD$与$BC$被$AB$所截，$∠ A$和$∠ B$是同旁内角，当$∠ A + ∠ B = 180°$时，满足同旁内角互补的条件，因此$AD// BC$。
【答案】
$∠ B$
【知识点】
平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）
【点评】
本题主要考查平行线的判定定理的应用，解题关键是准确识别出$AD$、$BC$被$AB$所截形成的同旁内角，理解同旁内角互补与两直线平行的关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥CD，∠BOE = 55°，则∠AOC =
35
°。答案
9. 35
解析
【分析】
首先，根据OE⊥CD的条件，利用垂直的定义可知∠EOD为90°；接着，观察图形可知∠EOD由∠BOE和∠BOD组成，已知∠BOE=55°，通过角的和差关系可计算出∠BOD的度数；最后，因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等的性质，即可得出∠AOC的度数。
【解析】
1. 由OE⊥CD，根据垂直的定义可得：$∠ EOD = 90°$；
2. 已知$∠ BOE = 55°$，则$∠ BOD = ∠ EOD - ∠ BOE = 90° - 55° = 35°$；
3. 因为$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，根据对顶角相等的性质，所以$∠ AOC = ∠ BOD = 35°$。
【答案】
35
【知识点】
垂直的定义，对顶角相等
【点评】
本题主要考查垂直的性质与对顶角的性质，属于基础题型。解题关键是先利用垂直得到直角，再通过角的和差计算出相关角的度数，最后借助对顶角相等得出结果，需要熟练掌握基本几何概念与性质。
【难度系数】
0.9
首先，根据OE⊥CD的条件，利用垂直的定义可知∠EOD为90°；接着，观察图形可知∠EOD由∠BOE和∠BOD组成，已知∠BOE=55°，通过角的和差关系可计算出∠BOD的度数；最后，因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等的性质，即可得出∠AOC的度数。
【解析】
1. 由OE⊥CD，根据垂直的定义可得：$∠ EOD = 90°$；
2. 已知$∠ BOE = 55°$，则$∠ BOD = ∠ EOD - ∠ BOE = 90° - 55° = 35°$；
3. 因为$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，根据对顶角相等的性质，所以$∠ AOC = ∠ BOD = 35°$。
【答案】
35
【知识点】
垂直的定义，对顶角相等
【点评】
本题主要考查垂直的性质与对顶角的性质，属于基础题型。解题关键是先利用垂直得到直角，再通过角的和差计算出相关角的度数，最后借助对顶角相等得出结果，需要熟练掌握基本几何概念与性质。
【难度系数】
0.9
10. 如图，∠1 - ∠2 = 72°。若 l₁//l₂，则∠ABC =
108
°。答案
10. 108 [解析]如图,延长AB交直线$l_{2}$于点F,设BC与直线$l_{2}$相交于点G。
因为$l_{1}// l_{2}$，
所以$∠2=∠AFG$。
因为$∠1$是$△BFG$的一个外角，
所以$∠FBG=∠1 - ∠AFG = ∠1 - ∠2$。
因为$∠1 - ∠2 = 72°$，
所以$∠FBG = 72°$，
所以$∠ABG = 180° - ∠FBG = 108°$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要将已知的∠1、∠2与所求的∠ABC建立联系。首先，考虑到$l_{1}// l_{2}$，可利用平行线的性质构造相等的角；其次，观察∠1的位置，它可作为某个三角形的外角，结合三角形外角的性质找到∠1与∠2的差和某个角的关系，最后利用邻补角的定义求出∠ABC的度数。具体思路为：通过延长AB交$l_{2}$于点F，构造内错角，利用平行线性质得到$∠2=∠AFG$；再根据三角形外角性质，得出$∠FBG=∠1-∠AFG$，进而得到$∠FBG=∠1-∠2=72°$；最后利用邻补角互补，计算出∠ABC的度数。
【解析】
如图，延长AB交直线$l_{2}$于点F，设BC与直线$l_{2}$相交于点G。
因为$l_{1}// l_{2}$，根据平行线的内错角相等，所以$∠2=∠AFG$。
因为$∠1$是$△BFG$的一个外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$∠FBG=∠1 - ∠AFG$。
将$∠AFG=∠2$代入，可得$∠FBG=∠1 - ∠2$。
已知$∠1 - ∠2 = 72°$，所以$∠FBG = 72°$。
因为$∠ABC$与$∠FBG$是邻补角，根据邻补角的定义，它们的和为180°，所以$∠ABC = 180° - ∠FBG = 180° - 72° = 108°$。
【答案】
108
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质及邻补角的定义的综合运用，解题的关键是通过构造辅助线，将已知角和所求角转化到同一个三角形或邻补角的关系中，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要将已知的∠1、∠2与所求的∠ABC建立联系。首先，考虑到$l_{1}// l_{2}$，可利用平行线的性质构造相等的角；其次，观察∠1的位置，它可作为某个三角形的外角，结合三角形外角的性质找到∠1与∠2的差和某个角的关系，最后利用邻补角的定义求出∠ABC的度数。具体思路为：通过延长AB交$l_{2}$于点F，构造内错角，利用平行线性质得到$∠2=∠AFG$；再根据三角形外角性质，得出$∠FBG=∠1-∠AFG$，进而得到$∠FBG=∠1-∠2=72°$；最后利用邻补角互补，计算出∠ABC的度数。
【解析】
如图，延长AB交直线$l_{2}$于点F，设BC与直线$l_{2}$相交于点G。
因为$l_{1}// l_{2}$，根据平行线的内错角相等，所以$∠2=∠AFG$。
因为$∠1$是$△BFG$的一个外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$∠FBG=∠1 - ∠AFG$。
将$∠AFG=∠2$代入，可得$∠FBG=∠1 - ∠2$。
已知$∠1 - ∠2 = 72°$，所以$∠FBG = 72°$。
因为$∠ABC$与$∠FBG$是邻补角，根据邻补角的定义，它们的和为180°，所以$∠ABC = 180° - ∠FBG = 180° - 72° = 108°$。
【答案】
108
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质及邻补角的定义的综合运用，解题的关键是通过构造辅助线，将已知角和所求角转化到同一个三角形或邻补角的关系中，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共 2 小题)
11. 如图，在边长为 1 的方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到△A'B'C'。图中标出了点 B 的对应点 B'。
(1)补全△A'B'C'。
(2)这个平移过程可以看作△ABC 先向左平移
(3)求线段 AB 平移过程中扫过的面积 S。
11. 如图，在边长为 1 的方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到△A'B'C'。图中标出了点 B 的对应点 B'。
(1)补全△A'B'C'。
(2)这个平移过程可以看作△ABC 先向左平移
4
个单位长度，再向 下
平移 2
个单位长度。(3)求线段 AB 平移过程中扫过的面积 S。
答案
11. 解:(1)如图所示,$△A'B'C'$即为所求。
(2)4 下 2
(3)由图可知，连结$B'B$，线段AB平移过程中扫过的面积即为四边形$ABB'A'$的面积，
所以$S = 2S_{△ABB'}= 2×\frac{1}{2}×4×4 = 16$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：平移的核心是对应点的平移规律一致，先确定点B到B'的平移方向和距离，再将点A、C按相同规律平移得到对应点A'、C'，最后连接三点即可补全△A'B'C'。
2. 第(2)问：通过数方格确定点B到B'的移动轨迹，水平方向向左移动4个单位，垂直方向向下移动2个单位，由此得出平移过程。
3. 第(3)问：线段AB平移扫过的区域是平行四边形$ABB'A'$，根据平移性质，该平行四边形面积可转化为2个△ABB'的面积之和，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 观察点B到B'的平移规律：向左平移4个单位，再向下平移2个单位。将点A、C按此规律平移得到点A'、C'，连接A'、B'、C'，△A'B'C'即为所求（图形与参考答案一致）。
(2) 数方格可得，点B向左移动4个单位，再向下移动2个单位到达B'，故平移过程为：先向左平移$\boldsymbol{4}$个单位长度，再向$\boldsymbol{下}$平移$\boldsymbol{2}$个单位长度。
(3) 线段AB平移扫过的图形是平行四边形$ABB'A'$，其面积$S=2S_{△ABB'}$。
在方格中，△ABB'的底为4，高为4，根据三角形面积公式：
$S_{△ABB'}=\frac{1}{2}×4×4=8$
则平行四边形面积：
$S=2×8=16$
【答案】
(1) 补全的△A'B'C'如图所示（与参考答案图形一致）；
(2) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{下}$，$\boldsymbol{2}$；
(3) $\boldsymbol{16}$。
【知识点】
图形的平移，平移的性质，多边形面积计算
【点评】
本题考查平移的概念、性质及平移扫过区域的面积计算，属于基础题型。解题关键是掌握平移规律，准确找到对应点，理解平移后线段扫过的图形为平行四边形，进而利用面积公式求解，注重对平移基本概念和几何面积计算的考查。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问：平移的核心是对应点的平移规律一致，先确定点B到B'的平移方向和距离，再将点A、C按相同规律平移得到对应点A'、C'，最后连接三点即可补全△A'B'C'。
2. 第(2)问：通过数方格确定点B到B'的移动轨迹，水平方向向左移动4个单位，垂直方向向下移动2个单位，由此得出平移过程。
3. 第(3)问：线段AB平移扫过的区域是平行四边形$ABB'A'$，根据平移性质，该平行四边形面积可转化为2个△ABB'的面积之和，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 观察点B到B'的平移规律：向左平移4个单位，再向下平移2个单位。将点A、C按此规律平移得到点A'、C'，连接A'、B'、C'，△A'B'C'即为所求（图形与参考答案一致）。
(2) 数方格可得，点B向左移动4个单位，再向下移动2个单位到达B'，故平移过程为：先向左平移$\boldsymbol{4}$个单位长度，再向$\boldsymbol{下}$平移$\boldsymbol{2}$个单位长度。
(3) 线段AB平移扫过的图形是平行四边形$ABB'A'$，其面积$S=2S_{△ABB'}$。
在方格中，△ABB'的底为4，高为4，根据三角形面积公式：
$S_{△ABB'}=\frac{1}{2}×4×4=8$
则平行四边形面积：
$S=2×8=16$
【答案】
(1) 补全的△A'B'C'如图所示（与参考答案图形一致）；
(2) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{下}$，$\boldsymbol{2}$；
(3) $\boldsymbol{16}$。
【知识点】
图形的平移，平移的性质，多边形面积计算
【点评】
本题考查平移的概念、性质及平移扫过区域的面积计算，属于基础题型。解题关键是掌握平移规律，准确找到对应点，理解平移后线段扫过的图形为平行四边形，进而利用面积公式求解，注重对平移基本概念和几何面积计算的考查。
【难度系数】
0.8
12. 如图，点 F 在线段 AB 上，点 E 在线段 CD 上，∠1 + ∠2 = 180°，∠A = ∠D。
（1）如图 1，试说明 AB//CD 的理由。
（2）如图 2，延长 AB 到 M，在∠MBC，∠BCD 内部有一点 P，连结 BP，CP。若∠CBP = 3∠MBP，∠BCP = 3∠DCP，求∠BPC 的度数。
（1）如图 1，试说明 AB//CD 的理由。
（2）如图 2，延长 AB 到 M，在∠MBC，∠BCD 内部有一点 P，连结 BP，CP。若∠CBP = 3∠MBP，∠BCP = 3∠DCP，求∠BPC 的度数。
答案
12. 解:(1)如图,
因为$∠2 + ∠3 = 180°$，$∠1 + ∠2 = 180°$，
所以$∠1 = ∠3$，
所以$AE// DF$，
所以$∠A = ∠BFD$。
因为$∠A = ∠D$，
所以$∠D = ∠BFD$，
所以$AB// CD$。
(2)因为$AM// CD$，
所以$∠MBC + ∠DCB = 180°$。
因为$∠CBP = 3∠MBP$，$∠BCP = 3∠DCP$，
所以$∠CBP = \frac{3}{4}∠MBC$，$∠BCP = \frac{3}{4}∠DCB$，
所以$∠CBP + ∠BCP = \frac{3}{4}∠MBC + \frac{3}{4}∠DCB = 135°$，
所以$∠BPC = 180° - (∠CBP + ∠BCP) = 45°$。
解析
【分析】
（1）要证明$AB//CD$，可先通过角的互补关系推出$AE//DF$，再结合已知角相等得到内错角相等，从而证明平行。首先利用邻补角的性质得到$∠2+∠3=180°$，结合$∠1+∠2=180°$可证得$∠1=∠3$，进而推出$AE//DF$，根据平行线性质得到$∠A=∠BFD$，再结合$∠A=∠D$得到$∠D=∠BFD$，最后根据内错角相等，两直线平行证明$AB//CD$。
（2）利用（1）中$AB//CD$的结论，可得同旁内角$∠MBC$与$∠DCB$互补。根据$∠CBP$和$∠MBP$、$∠BCP$和$∠DCP$的数量关系，将$∠CBP+∠BCP$转化为$∠MBC$与$∠DCB$和的$\frac{3}{4}$，求出该和后，再根据三角形内角和定理计算$∠BPC$的度数。
【解析】
(1) 如图，
因为$∠2 + ∠3 = 180°$，$∠1 + ∠2 = 180°$，
所以$∠1 = ∠3$，
所以$AE// DF$，
所以$∠A = ∠BFD$。
因为$∠A = ∠D$，
所以$∠D = ∠BFD$，
所以$AB// CD$。
(2) 由(1)知$AM// CD$，
所以$∠MBC + ∠DCB = 180°$。
因为$∠CBP = 3∠MBP$，$∠BCP = 3∠DCP$，
所以$∠CBP = \frac{3}{4}∠MBC$，$∠BCP = \frac{3}{4}∠DCB$，
所以$∠CBP + ∠BCP = \frac{3}{4}∠MBC + \frac{3}{4}∠DCB = \frac{3}{4}(∠MBC + ∠DCB)=\frac{3}{4}×180°=135°$，
所以$∠BPC = 180° - (∠CBP + ∠BCP) = 180°-135°=45°$。
【答案】
（1）$AB// CD$的理由见上述解析；（2）$\boldsymbol{∠BPC=45°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的应用，解题关键是熟练掌握相关定理，灵活运用角之间的数量关系进行推导。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$AB//CD$，可先通过角的互补关系推出$AE//DF$，再结合已知角相等得到内错角相等，从而证明平行。首先利用邻补角的性质得到$∠2+∠3=180°$，结合$∠1+∠2=180°$可证得$∠1=∠3$，进而推出$AE//DF$，根据平行线性质得到$∠A=∠BFD$，再结合$∠A=∠D$得到$∠D=∠BFD$，最后根据内错角相等，两直线平行证明$AB//CD$。
（2）利用（1）中$AB//CD$的结论，可得同旁内角$∠MBC$与$∠DCB$互补。根据$∠CBP$和$∠MBP$、$∠BCP$和$∠DCP$的数量关系，将$∠CBP+∠BCP$转化为$∠MBC$与$∠DCB$和的$\frac{3}{4}$，求出该和后，再根据三角形内角和定理计算$∠BPC$的度数。
【解析】
(1) 如图，
因为$∠2 + ∠3 = 180°$，$∠1 + ∠2 = 180°$，
所以$∠1 = ∠3$，
所以$AE// DF$，
所以$∠A = ∠BFD$。
因为$∠A = ∠D$，
所以$∠D = ∠BFD$，
所以$AB// CD$。
(2) 由(1)知$AM// CD$，
所以$∠MBC + ∠DCB = 180°$。
因为$∠CBP = 3∠MBP$，$∠BCP = 3∠DCP$，
所以$∠CBP = \frac{3}{4}∠MBC$，$∠BCP = \frac{3}{4}∠DCB$，
所以$∠CBP + ∠BCP = \frac{3}{4}∠MBC + \frac{3}{4}∠DCB = \frac{3}{4}(∠MBC + ∠DCB)=\frac{3}{4}×180°=135°$，
所以$∠BPC = 180° - (∠CBP + ∠BCP) = 180°-135°=45°$。
【答案】
（1）$AB// CD$的理由见上述解析；（2）$\boldsymbol{∠BPC=45°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的应用，解题关键是熟练掌握相关定理，灵活运用角之间的数量关系进行推导。
【难度系数】
0.6
