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一、选择题(共 8 小题)
1. 下列算式可以用“幂的乘方法则”运算的是(
A. $m^{2}· m^{4}$
B. $(m^{2})^{4}$
C. $(2m)^{4}$
D. $m^{2}+m^{4}$
1. 下列算式可以用“幂的乘方法则”运算的是(
B
)A. $m^{2}· m^{4}$
B. $(m^{2})^{4}$
C. $(2m)^{4}$
D. $m^{2}+m^{4}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确幂的乘方法则的定义和形式：幂的乘方是指形如$(a^m)^n$的运算，法则为底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$。接下来我们逐个分析每个选项的运算类型，判断是否符合幂的乘方法则的形式：
1. 对于选项A，它是同底数幂相乘的形式，对应的是同底数幂乘法法则，不是幂的乘方；
2. 选项B的形式是$(m^2)^4$，完全符合幂的乘方的形式，适用幂的乘方法则；
3. 选项C是积的乘方的形式，需要运用积的乘方法则，不是幂的乘方；
4. 选项D是两个不同次数的幂相加，它们不是同类项，无法合并，不属于幂的乘方运算。
通过这样的逐一判断，就能确定正确选项。
【解析】
选项A：$m^{2}· m^{4}$是同底数幂相乘，运用同底数幂乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，不属于幂的乘方运算；
选项B：$(m^{2})^{4}$是幂的乘方，符合幂的乘方法则的形式，可运用法则计算：$(m^{2})^{4}=m^{2×4}=m^8$，属于幂的乘方运算；
选项C：$(2m)^{4}$是积的乘方，运用积的乘方法则：$(ab)^n=a^n·b^n$，不属于幂的乘方运算；
选项D：$m^{2}+m^{4}$中，$m^2$与$m^4$不是同类项，不能合并，不属于幂的乘方运算。
因此，能用幂的乘方法则运算的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方法则，同底数幂乘法，积的乘方
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的辨析，需要学生准确区分同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算形式及对应法则，避免混淆不同的幂运算类型，是一道基础概念题，有助于夯实幂运算的基础认知。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确幂的乘方法则的定义和形式：幂的乘方是指形如$(a^m)^n$的运算，法则为底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$。接下来我们逐个分析每个选项的运算类型，判断是否符合幂的乘方法则的形式：
1. 对于选项A，它是同底数幂相乘的形式，对应的是同底数幂乘法法则，不是幂的乘方；
2. 选项B的形式是$(m^2)^4$，完全符合幂的乘方的形式，适用幂的乘方法则；
3. 选项C是积的乘方的形式，需要运用积的乘方法则，不是幂的乘方；
4. 选项D是两个不同次数的幂相加，它们不是同类项，无法合并，不属于幂的乘方运算。
通过这样的逐一判断，就能确定正确选项。
【解析】
选项A：$m^{2}· m^{4}$是同底数幂相乘，运用同底数幂乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，不属于幂的乘方运算；
选项B：$(m^{2})^{4}$是幂的乘方，符合幂的乘方法则的形式，可运用法则计算：$(m^{2})^{4}=m^{2×4}=m^8$，属于幂的乘方运算；
选项C：$(2m)^{4}$是积的乘方，运用积的乘方法则：$(ab)^n=a^n·b^n$，不属于幂的乘方运算；
选项D：$m^{2}+m^{4}$中，$m^2$与$m^4$不是同类项，不能合并，不属于幂的乘方运算。
因此，能用幂的乘方法则运算的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方法则，同底数幂乘法，积的乘方
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的辨析，需要学生准确区分同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算形式及对应法则，避免混淆不同的幂运算类型，是一道基础概念题，有助于夯实幂运算的基础认知。
【难度系数】
0.8
2. $(-8)^{-2}$的值为(
A.64
B.$\frac{1}{64}$
C.$-64$
D.$-\frac{1}{64}$
B
)A.64
B.$\frac{1}{64}$
C.$-64$
D.$-\frac{1}{64}$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆负整数指数幂的定义：一个非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数，即$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）。首先确定底数是$-8$，指数是$-2$，根据定义，我们需要先计算$-8$的$2$次方，再取它的倒数。计算$(-8)^2$时，注意负数的偶次幂是正数，所以$(-8)^2=64$，再取倒数就能得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：
$\begin{aligned}(-8)^{-2}&=\frac{1}{(-8)^2}\\&=\frac{1}{64}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题主要考查负整数指数幂的基本运算，解题关键是牢记负整数指数幂的定义，同时注意负数偶次幂的符号处理，避免因符号错误导致结果出错，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆负整数指数幂的定义：一个非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数，即$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）。首先确定底数是$-8$，指数是$-2$，根据定义，我们需要先计算$-8$的$2$次方，再取它的倒数。计算$(-8)^2$时，注意负数的偶次幂是正数，所以$(-8)^2=64$，再取倒数就能得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：
$\begin{aligned}(-8)^{-2}&=\frac{1}{(-8)^2}\\&=\frac{1}{64}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题主要考查负整数指数幂的基本运算，解题关键是牢记负整数指数幂的定义，同时注意负数偶次幂的符号处理，避免因符号错误导致结果出错，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 已知某种花粉的直径是 $0.000038m$，数据 $0.000038$ 可用科学记数法表示为(
A.$38×10^{-5}$
B.$3.8×10^{-6}$
C.$3.8×10^{-5}$
D.$3.8×10^{-4}$
C
)A.$38×10^{-5}$
B.$3.8×10^{-6}$
C.$3.8×10^{-5}$
D.$3.8×10^{-4}$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$是正整数，$n$的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前的零）。
首先确定$a$的值：将$0.000038$的小数点向右移动，直到第一个非零数字3的后面，得到$a=3.8$，满足$1≤|a|＜10$；然后确定$n$的值：数原数中第一个非零数字3前面的零，一共有5个（小数点前1个，小数点后4个），所以$n=5$，因此该数用科学记数法表示为$3.8×10^{-5}$，再对照选项即可选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数，$n$等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数。
对于$0.000038$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动5位，得到$a=3.8$，符合$1≤|a|＜10$的要求；
2. 确定$n$：原数第一个非零数字3前面共有5个零，故$n=5$；
因此$0.000038=3.8×10^{-5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法（表示较小数）
【点评】
本题主要考查科学记数法的基本规则，核心是掌握表示小于1的正数时$a$的取值范围和$n$的确定方法，属于基础题型，只要牢记规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$是正整数，$n$的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前的零）。
首先确定$a$的值：将$0.000038$的小数点向右移动，直到第一个非零数字3的后面，得到$a=3.8$，满足$1≤|a|＜10$；然后确定$n$的值：数原数中第一个非零数字3前面的零，一共有5个（小数点前1个，小数点后4个），所以$n=5$，因此该数用科学记数法表示为$3.8×10^{-5}$，再对照选项即可选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数，$n$等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数。
对于$0.000038$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动5位，得到$a=3.8$，符合$1≤|a|＜10$的要求；
2. 确定$n$：原数第一个非零数字3前面共有5个零，故$n=5$；
因此$0.000038=3.8×10^{-5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法（表示较小数）
【点评】
本题主要考查科学记数法的基本规则，核心是掌握表示小于1的正数时$a$的取值范围和$n$的确定方法，属于基础题型，只要牢记规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式计算正确的是(
A.$(x - 2)(x + 2)=x^{2}-2$
B.$(a + b)^{2}=a^{2}-ab + b^{2}$
C.$-2(3a + 1)=-6a - 1$
D.$(-3a + 2)(-3a - 2)=9a^{2}-4$
D
)A.$(x - 2)(x + 2)=x^{2}-2$
B.$(a + b)^{2}=a^{2}-ab + b^{2}$
C.$-2(3a + 1)=-6a - 1$
D.$(-3a + 2)(-3a - 2)=9a^{2}-4$
答案
4. D
解析
【分析】
这道题考查整式的乘法运算，需要我们运用平方差公式、完全平方公式以及单项式乘多项式的法则，逐个对选项进行验证判断：
1. 对于选项A，回忆平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，这里$a=x$，$b=2$，计算时应该是$x^2-2^2$，而非$x^2-2$，所以A错误；
2. 对于选项B，回忆完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，中间项应为$+2ab$，而非$-ab$，所以B错误；
3. 对于选项C，运用单项式乘多项式的分配律，$-2$要乘括号里的每一项，即$-2×3a + (-2)×1=-6a-2$，而非$-6a-1$，所以C错误；
4. 对于选项D，把$-3a$看作一个整体，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，这里$a=-3a$，$b=2$，计算得$(-3a)^2-2^2=9a^2-4$，所以D正确。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：$(x - 2)(x + 2)=x^2-2^2=x^2-4≠x^2-2$，计算错误；
选项B：$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2≠a^2-ab+b^2$，计算错误；
选项C：$-2(3a + 1)=-2×3a + (-2)×1=-6a-2≠-6a-1$，计算错误；
选项D：$(-3a + 2)(-3a - 2)=(-3a)^2-2^2=9a^2-4$，计算正确。
综上，正确答案是D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考查对平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式法则的掌握情况，题目中的错误选项均为学生易犯的典型错误，需注意公式的准确运用和符号的处理。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式的乘法运算，需要我们运用平方差公式、完全平方公式以及单项式乘多项式的法则，逐个对选项进行验证判断：
1. 对于选项A，回忆平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，这里$a=x$，$b=2$，计算时应该是$x^2-2^2$，而非$x^2-2$，所以A错误；
2. 对于选项B，回忆完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，中间项应为$+2ab$，而非$-ab$，所以B错误；
3. 对于选项C，运用单项式乘多项式的分配律，$-2$要乘括号里的每一项，即$-2×3a + (-2)×1=-6a-2$，而非$-6a-1$，所以C错误；
4. 对于选项D，把$-3a$看作一个整体，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，这里$a=-3a$，$b=2$，计算得$(-3a)^2-2^2=9a^2-4$，所以D正确。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：$(x - 2)(x + 2)=x^2-2^2=x^2-4≠x^2-2$，计算错误；
选项B：$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2≠a^2-ab+b^2$，计算错误；
选项C：$-2(3a + 1)=-2×3a + (-2)×1=-6a-2≠-6a-1$，计算错误；
选项D：$(-3a + 2)(-3a - 2)=(-3a)^2-2^2=9a^2-4$，计算正确。
综上，正确答案是D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考查对平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式法则的掌握情况，题目中的错误选项均为学生易犯的典型错误，需注意公式的准确运用和符号的处理。
【难度系数】
0.8
5. 如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①$(2a + b)(m + n)$；②$a(m + n)+b(m + n)$；③$m(2a + b)+n(2a + b)$；④$2am + 2an + bm + bn$。你认为其中正确的有(
A.①②
B.②③
C.①③④
D.①②③④
C
)A.①②
B.②③
C.①③④
D.①②③④
答案
5. C
解析
【分析】
要判断四个多项式是否正确表示大长方形的面积，可从不同的图形分割角度思考：
1. 整体视角：大长方形的长为$2a+b$，宽为$m+n$，根据长方形面积公式“面积=长×宽”，可直接得到面积表达式。
2. 横向分割视角：将大长方形分为上下两个长方形，分别计算两个长方形的面积再求和。
3. 逐个小长方形求和视角：把大长方形拆分为6个小长方形，将所有小长方形的面积相加得到总面积。
4. 分析②式：该式仅计算了左侧和中间区域的面积，遗漏了右侧的区域，无法表示整个大长方形的面积。
【解析】
1. 对于①式：
大长方形的长为$2a+b$，宽为$m+n$，根据长方形面积公式，总面积为$(2a + b)(m + n)$，故①正确。
2. 对于②式：
$a(m + n)+b(m + n)$只计算了左侧宽为$a$和中间宽为$b$的区域面积，缺少右侧宽为$a$的区域面积，不能表示整个大长方形的面积，故②错误。
3. 对于③式：
将大长方形沿水平方向分为上下两个长方形，上方长方形面积为$m(2a + b)$，下方长方形面积为$n(2a + b)$，总面积为$m(2a + b)+n(2a + b)$，故③正确。
4. 对于④式：
将6个小长方形的面积相加，左侧两个小长方形面积和为$am+an+am+an=2am+2an$，中间两个小长方形面积和为$bm+bn$，总面积为$2am + 2an + bm + bn$，故④正确。
综上，正确的是①③④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积公式，多项式乘法，图形分割求面积
【点评】
本题通过多种图形分割方式，考查了长方形面积的不同表达式，需要结合整式乘法理解各表达式的关联，同时需仔细观察图形，避免遗漏区域面积。
【难度系数】
0.6
要判断四个多项式是否正确表示大长方形的面积，可从不同的图形分割角度思考：
1. 整体视角：大长方形的长为$2a+b$，宽为$m+n$，根据长方形面积公式“面积=长×宽”，可直接得到面积表达式。
2. 横向分割视角：将大长方形分为上下两个长方形，分别计算两个长方形的面积再求和。
3. 逐个小长方形求和视角：把大长方形拆分为6个小长方形，将所有小长方形的面积相加得到总面积。
4. 分析②式：该式仅计算了左侧和中间区域的面积，遗漏了右侧的区域，无法表示整个大长方形的面积。
【解析】
1. 对于①式：
大长方形的长为$2a+b$，宽为$m+n$，根据长方形面积公式，总面积为$(2a + b)(m + n)$，故①正确。
2. 对于②式：
$a(m + n)+b(m + n)$只计算了左侧宽为$a$和中间宽为$b$的区域面积，缺少右侧宽为$a$的区域面积，不能表示整个大长方形的面积，故②错误。
3. 对于③式：
将大长方形沿水平方向分为上下两个长方形，上方长方形面积为$m(2a + b)$，下方长方形面积为$n(2a + b)$，总面积为$m(2a + b)+n(2a + b)$，故③正确。
4. 对于④式：
将6个小长方形的面积相加，左侧两个小长方形面积和为$am+an+am+an=2am+2an$，中间两个小长方形面积和为$bm+bn$，总面积为$2am + 2an + bm + bn$，故④正确。
综上，正确的是①③④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积公式，多项式乘法，图形分割求面积
【点评】
本题通过多种图形分割方式，考查了长方形面积的不同表达式，需要结合整式乘法理解各表达式的关联，同时需仔细观察图形，避免遗漏区域面积。
【难度系数】
0.6
6. 已知 $m + n = 2$，$mn = -2$，则$(1 + m)·(1 + n)$的值为(
A.6
B.$-2$
C.0
D.1
D
)A.6
B.$-2$
C.0
D.1
答案
6. D
解析
【分析】
要计算$(1 + m)·(1 + n)$的值，首先考虑利用多项式乘多项式法则将式子展开，展开后会发现式子中包含已知条件$m+n$和$mn$，无需单独求解$m$、$n$的值，直接代入已知数值进行计算即可，这样能简化运算步骤。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开式子：
$\begin{aligned}(1 + m)(1 + n)&=1×1 + 1× n + m×1 + m× n\\&=1 + n + m + mn\\&=1 + (m + n) + mn\end{aligned}$
将$m + n = 2$，$mn = -2$代入上式：
$1 + 2 + (-2) = 1$
所以$(1 + m)·(1 + n)$的值为1，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘法法则的应用及整体代入思想的运用，通过整体代入避免了求解$m$、$n$的复杂过程，简化计算，属于基础题型，需熟练掌握相关运算规则和整体思想。
【难度系数】
0.8
要计算$(1 + m)·(1 + n)$的值，首先考虑利用多项式乘多项式法则将式子展开，展开后会发现式子中包含已知条件$m+n$和$mn$，无需单独求解$m$、$n$的值，直接代入已知数值进行计算即可，这样能简化运算步骤。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开式子：
$\begin{aligned}(1 + m)(1 + n)&=1×1 + 1× n + m×1 + m× n\\&=1 + n + m + mn\\&=1 + (m + n) + mn\end{aligned}$
将$m + n = 2$，$mn = -2$代入上式：
$1 + 2 + (-2) = 1$
所以$(1 + m)·(1 + n)$的值为1，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘法法则的应用及整体代入思想的运用，通过整体代入避免了求解$m$、$n$的复杂过程，简化计算，属于基础题型，需熟练掌握相关运算规则和整体思想。
【难度系数】
0.8
7. 一个长方形的面积是 $15x^{3}y^{5}-10x^{4}y^{4}+20x^{3}y^{2}$，一边长是 $5x^{3}y^{2}$，则它的邻边长是(
A.$2y^{3}-3xy^{2}+4$
B.$3y^{3}-2xy^{2}+4$
C.$3y^{3}+2xy^{2}+4$
D.$2xy^{2}-3y^{3}+4$
B
)A.$2y^{3}-3xy^{2}+4$
B.$3y^{3}-2xy^{2}+4$
C.$3y^{3}+2xy^{2}+4$
D.$2xy^{2}-3y^{3}+4$
答案
7. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积 = 长 × 宽，因此邻边长 = 长方形面积 ÷ 已知边长。这就将问题转化为多项式除以单项式的运算，我们需要运用多项式除以单项式的法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加，最后化简结果并对比选项即可得到答案。
【解析】
根据长方形面积公式，邻边长为面积除以已知边长，列出算式：
$\begin{aligned}&(15x^{3}y^{5}-10x^{4}y^{4}+20x^{3}y^{2}) ÷ 5x^{3}y^{2}\\=&15x^{3}y^{5} ÷ 5x^{3}y^{2} - 10x^{4}y^{4} ÷ 5x^{3}y^{2} + 20x^{3}y^{2} ÷ 5x^{3}y^{2}\\=&3y^{3} - 2xy^{2} + 4\end{aligned}$
对比选项，符合的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式，长方形面积公式
【点评】
本题主要考查多项式除以单项式的运算，同时结合长方形面积公式进行应用。解题时需熟练掌握多项式除以单项式的法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；计算过程中要注意符号的处理以及同底数幂除法的指数运算，避免出现符号错误或指数计算失误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积 = 长 × 宽，因此邻边长 = 长方形面积 ÷ 已知边长。这就将问题转化为多项式除以单项式的运算，我们需要运用多项式除以单项式的法则，把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加，最后化简结果并对比选项即可得到答案。
【解析】
根据长方形面积公式，邻边长为面积除以已知边长，列出算式：
$\begin{aligned}&(15x^{3}y^{5}-10x^{4}y^{4}+20x^{3}y^{2}) ÷ 5x^{3}y^{2}\\=&15x^{3}y^{5} ÷ 5x^{3}y^{2} - 10x^{4}y^{4} ÷ 5x^{3}y^{2} + 20x^{3}y^{2} ÷ 5x^{3}y^{2}\\=&3y^{3} - 2xy^{2} + 4\end{aligned}$
对比选项，符合的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式除以单项式，长方形面积公式
【点评】
本题主要考查多项式除以单项式的运算，同时结合长方形面积公式进行应用。解题时需熟练掌握多项式除以单项式的法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；计算过程中要注意符号的处理以及同底数幂除法的指数运算，避免出现符号错误或指数计算失误。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球 $29$ 个、$29$ 个、$53$ 个，先从甲袋中取出 $2^{x}$ 个球放入乙袋，再从乙袋中取出 $2^{y}$ 个球放入丙袋，最后从丙袋中取出$(2^{x}+2^{y})$个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则 $2^{x + y}$ 的值等于(
A.512
B.128
C.64
D.32
B
)A.512
B.128
C.64
D.32
答案
8. B
解析
【分析】
首先根据总球数不变，计算出最后三只袋中每袋球的个数；再分别根据甲袋、乙袋的球数变化过程，列出关于$2^x$和$2^y$的方程，先通过甲袋的方程求出$2^y$的值，再代入乙袋的方程求出$2^x$的值，最后利用同底数幂乘法计算$2^{x+y}$的值。
【解析】
1. 计算最终每袋球的个数
三只袋中总球数为：$29 + 29 + 53 = 111$（个）
因为最后三只袋中球的个数相同，所以每袋最终有：$111÷3 = 37$（个）
2. 根据甲袋的操作列方程求解$2^y$
甲袋初始有29个球，先取出$2^x$个，再放入$(2^x+2^y)$个，最终有37个，列方程：
$29 - 2^x + (2^x + 2^y) = 37$
化简得：$29 + 2^y = 37$
解得：$2^y = 37 - 29 = 8$
3. 根据乙袋的操作列方程求解$2^x$
乙袋初始有29个球，先放入$2^x$个，再取出$2^y$个，最终有37个，列方程：
$29 + 2^x - 2^y = 37$
将$2^y=8$代入得：
$29 + 2^x - 8 = 37$
化简得：$2^x = 37 - 21 = 16$
4. 计算$2^{x+y}$
根据同底数幂乘法法则：$2^{x+y}=2^x × 2^y = 16×8=128$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，同底数幂乘法
【点评】
本题结合实际场景考查一元一次方程的应用与幂的运算，解题核心是抓住“总球数不变”确定最终每袋球数，再根据球的转移过程建立等量关系，逐步求解未知数相关的幂值，难度适中，需要理清数量变化的逻辑。
【难度系数】
0.6
首先根据总球数不变，计算出最后三只袋中每袋球的个数；再分别根据甲袋、乙袋的球数变化过程，列出关于$2^x$和$2^y$的方程，先通过甲袋的方程求出$2^y$的值，再代入乙袋的方程求出$2^x$的值，最后利用同底数幂乘法计算$2^{x+y}$的值。
【解析】
1. 计算最终每袋球的个数
三只袋中总球数为：$29 + 29 + 53 = 111$（个）
因为最后三只袋中球的个数相同，所以每袋最终有：$111÷3 = 37$（个）
2. 根据甲袋的操作列方程求解$2^y$
甲袋初始有29个球，先取出$2^x$个，再放入$(2^x+2^y)$个，最终有37个，列方程：
$29 - 2^x + (2^x + 2^y) = 37$
化简得：$29 + 2^y = 37$
解得：$2^y = 37 - 29 = 8$
3. 根据乙袋的操作列方程求解$2^x$
乙袋初始有29个球，先放入$2^x$个，再取出$2^y$个，最终有37个，列方程：
$29 + 2^x - 2^y = 37$
将$2^y=8$代入得：
$29 + 2^x - 8 = 37$
化简得：$2^x = 37 - 21 = 16$
4. 计算$2^{x+y}$
根据同底数幂乘法法则：$2^{x+y}=2^x × 2^y = 16×8=128$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，同底数幂乘法
【点评】
本题结合实际场景考查一元一次方程的应用与幂的运算，解题核心是抓住“总球数不变”确定最终每袋球数，再根据球的转移过程建立等量关系，逐步求解未知数相关的幂值，难度适中，需要理清数量变化的逻辑。
【难度系数】
0.6
二、填空题(共 4 小题)
9. 计算：$(\frac{2026}{2025})^{0}=$
9. 计算：$(\frac{2026}{2025})^{0}=$
1
。答案
9. 1
解析
【分析】
首先观察题目，这是零指数幂的计算问题。我们需要回忆零指数幂的定义：任何非零数的0次幂都等于1。先判断底数$\frac{2026}{2025}$是否为0，显然$\frac{2026}{2025}$是一个非零分数，满足零指数幂的适用条件，因此可直接得出结果。
【解析】
根据零指数幂的性质：对于任意非零实数$a$，有$a^0=1$。
因为$\frac{2026}{2025} ≠ 0$，所以$(\frac{2026}{2025})^{0}=1$。
【答案】
1
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题考查零指数幂的基础概念，属于简单题，只需牢记零指数幂的运算规则即可快速求解，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.9
首先观察题目，这是零指数幂的计算问题。我们需要回忆零指数幂的定义：任何非零数的0次幂都等于1。先判断底数$\frac{2026}{2025}$是否为0，显然$\frac{2026}{2025}$是一个非零分数，满足零指数幂的适用条件，因此可直接得出结果。
【解析】
根据零指数幂的性质：对于任意非零实数$a$，有$a^0=1$。
因为$\frac{2026}{2025} ≠ 0$，所以$(\frac{2026}{2025})^{0}=1$。
【答案】
1
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题考查零指数幂的基础概念，属于简单题，只需牢记零指数幂的运算规则即可快速求解，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.9
10. 若 $x$，$y$ 满足$\begin{cases}2x + 3y = 3,\\3y - 2 = 2x,\end{cases}$则式子 $4x^{2}-9y^{2}$ 的值为 ______ 。
答案
10. $-6$
解析
【分析】
首先观察所求式子$4x^2 - 9y^2$的结构，发现它符合平方差公式的形式，可先分解因式为$(2x+3y)(2x-3y)$。接着看已知方程组，第一个方程直接给出$2x+3y=3$，第二个方程通过移项变形可得到$2x-3y$的值，最后将这两个值代入分解后的式子即可求出结果。
【解析】
1. 利用平方差公式分解所求式子：
$4x^2 - 9y^2=(2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$
2. 分析已知方程组：
已知$\begin{cases}2x + 3y = 3,\\3y - 2 = 2x,\end{cases}$
由第二个方程$3y - 2 = 2x$，移项可得$2x - 3y = -2$。
3. 代入计算：
将$2x+3y=3$和$2x-3y=-2$代入$(2x+3y)(2x-3y)$，得：
$3×(-2)=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题考查平方差公式的逆用及整体思想的应用，解题关键是将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，避免求解方程组中$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先观察所求式子$4x^2 - 9y^2$的结构，发现它符合平方差公式的形式，可先分解因式为$(2x+3y)(2x-3y)$。接着看已知方程组，第一个方程直接给出$2x+3y=3$，第二个方程通过移项变形可得到$2x-3y$的值，最后将这两个值代入分解后的式子即可求出结果。
【解析】
1. 利用平方差公式分解所求式子：
$4x^2 - 9y^2=(2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$
2. 分析已知方程组：
已知$\begin{cases}2x + 3y = 3,\\3y - 2 = 2x,\end{cases}$
由第二个方程$3y - 2 = 2x$，移项可得$2x - 3y = -2$。
3. 代入计算：
将$2x+3y=3$和$2x-3y=-2$代入$(2x+3y)(2x-3y)$，得：
$3×(-2)=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题考查平方差公式的逆用及整体思想的应用，解题关键是将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，避免求解方程组中$x$、$y$的具体值，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
11. 用“$＞$”或“$＜$”填空：$2^{60}\_\_\_\_\_\_3^{45}$。
答案
11. $＜$
解析
【分析】
要比较两个幂的大小，当底数和指数都不同时，可考虑将它们转化为同指数的幂，再通过比较底数的大小来判断幂的大小。首先找出60和45的最大公约数是15，利用幂的乘方的逆运算，把$2^{60}$和$3^{45}$分别转化为以15为指数的幂，再比较底数即可。
【解析】
步骤1：对指数进行变形，利用幂的乘方逆运算转化为同指数幂
因为 $60 = 15×4$，$45 = 15×3$，根据幂的乘方公式 $(a^m)^n = a^{mn}$ 的逆运算：
$2^{60} = (2^4)^{15} = 16^{15}$，
$3^{45} = (3^3)^{15} = 27^{15}$；
步骤2：比较同指数幂的大小
由于指数15是正整数，且底数 $16 ＜ 27$，根据“当指数为正整数时，底数越大，幂越大”，可得：
$16^{15} ＜ 27^{15}$，因此 $2^{60} ＜ 3^{45}$。
【答案】
＜
【知识点】
幂的乘方逆用、有理数大小比较
【点评】
本题核心是运用幂的乘方的逆运算将不同指数的幂转化为同指数幂，通过比较底数大小快速判断幂的大小，考查了对幂的运算性质的灵活运用能力，解题关键是找准指数的最大公约数进行合理变形。
【难度系数】
0.6
要比较两个幂的大小，当底数和指数都不同时，可考虑将它们转化为同指数的幂，再通过比较底数的大小来判断幂的大小。首先找出60和45的最大公约数是15，利用幂的乘方的逆运算，把$2^{60}$和$3^{45}$分别转化为以15为指数的幂，再比较底数即可。
【解析】
步骤1：对指数进行变形，利用幂的乘方逆运算转化为同指数幂
因为 $60 = 15×4$，$45 = 15×3$，根据幂的乘方公式 $(a^m)^n = a^{mn}$ 的逆运算：
$2^{60} = (2^4)^{15} = 16^{15}$，
$3^{45} = (3^3)^{15} = 27^{15}$；
步骤2：比较同指数幂的大小
由于指数15是正整数，且底数 $16 ＜ 27$，根据“当指数为正整数时，底数越大，幂越大”，可得：
$16^{15} ＜ 27^{15}$，因此 $2^{60} ＜ 3^{45}$。
【答案】
＜
【知识点】
幂的乘方逆用、有理数大小比较
【点评】
本题核心是运用幂的乘方的逆运算将不同指数的幂转化为同指数幂，通过比较底数大小快速判断幂的大小，考查了对幂的运算性质的灵活运用能力，解题关键是找准指数的最大公约数进行合理变形。
【难度系数】
0.6
12. 若多项式 $n^{4}+9n^{2}+k$ 可化为 $(a + b)^{2}$ 的形式，则单项式 $k$ 可以是
$6n^{3}$或$-6n^{3}$或$\frac {81}{4}$或$\frac {n^{6}}{36}$
。答案
12. $6n^{3}$或$-6n^{3}$或$\frac {81}{4}$或$\frac {n^{6}}{36}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需回忆完全平方公式 $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ 的结构特征：完全平方式由两个平方项和一个交叉项（±2ab）组成。题目中的多项式 $n^4+9n^2+k$ 可化为完全平方式，因此需要分情况讨论给定的两项 $n^4$、$9n^2$ 分别对应完全平方公式中的 $a^2$、$b^2$ 或交叉项，进而求出单项式 $k$ 的可能值：
1. 若 $n^4$ 和 $k$ 是平方项，$9n^2$ 是交叉项；
2. 若 $9n^2$ 和 $k$ 是平方项，$n^4$ 是交叉项；
3. 若 $n^4$ 和 $9n^2$ 是平方项，$k$ 是交叉项。
通过这三种分类（其中第三种包含正负两种情况），即可求出所有符合条件的 $k$。
【解析】
根据完全平方公式 $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分以下情况计算：
1. 当 $n^4$、$k$ 为平方项，$9n^2$ 为交叉项时：
设 $a^2=n^4$，则 $a=n^2$，由交叉项 $2ab=9n^2$ 可得：
$2× n^2× b=9n^2$，解得 $b=\frac{9}{2}$，
因此 $k=b^2=(\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}$。
2. 当 $9n^2$、$k$ 为平方项，$n^4$ 为交叉项时：
设 $a^2=9n^2$，则 $a=3n$，由交叉项 $2ab=n^4$ 可得：
$2×3n× b=n^4$，解得 $b=\frac{n^3}{6}$，
因此 $k=b^2=(\frac{n^3}{6})^2=\frac{n^6}{36}$。
3. 当 $n^4$、$9n^2$ 为平方项，$k$ 为交叉项时：
设 $a^2=n^4$，$b^2=9n^2$，则 $a=n^2$，$b=\pm3n$，
交叉项 $k=\pm2ab=\pm2× n^2×3n=\pm6n^3$。
综上，符合条件的单项式 $k$ 有 $6n^3$、$-6n^3$、$\frac{81}{4}$、$\frac{n^6}{36}$。
【答案】
$6n^{3}$或$-6n^{3}$或$\frac {81}{4}$或$\frac {n^{6}}{36}$
【知识点】
完全平方公式，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，解题关键是准确把握完全平方式的结构特征，通过分类讨论确定各项在完全平方式中的对应位置，容易因考虑不全面导致漏解，需注重思维的严谨性。
【难度系数】
0.3
要解决这个问题，首先需回忆完全平方公式 $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ 的结构特征：完全平方式由两个平方项和一个交叉项（±2ab）组成。题目中的多项式 $n^4+9n^2+k$ 可化为完全平方式，因此需要分情况讨论给定的两项 $n^4$、$9n^2$ 分别对应完全平方公式中的 $a^2$、$b^2$ 或交叉项，进而求出单项式 $k$ 的可能值：
1. 若 $n^4$ 和 $k$ 是平方项，$9n^2$ 是交叉项；
2. 若 $9n^2$ 和 $k$ 是平方项，$n^4$ 是交叉项；
3. 若 $n^4$ 和 $9n^2$ 是平方项，$k$ 是交叉项。
通过这三种分类（其中第三种包含正负两种情况），即可求出所有符合条件的 $k$。
【解析】
根据完全平方公式 $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分以下情况计算：
1. 当 $n^4$、$k$ 为平方项，$9n^2$ 为交叉项时：
设 $a^2=n^4$，则 $a=n^2$，由交叉项 $2ab=9n^2$ 可得：
$2× n^2× b=9n^2$，解得 $b=\frac{9}{2}$，
因此 $k=b^2=(\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}$。
2. 当 $9n^2$、$k$ 为平方项，$n^4$ 为交叉项时：
设 $a^2=9n^2$，则 $a=3n$，由交叉项 $2ab=n^4$ 可得：
$2×3n× b=n^4$，解得 $b=\frac{n^3}{6}$，
因此 $k=b^2=(\frac{n^3}{6})^2=\frac{n^6}{36}$。
3. 当 $n^4$、$9n^2$ 为平方项，$k$ 为交叉项时：
设 $a^2=n^4$，$b^2=9n^2$，则 $a=n^2$，$b=\pm3n$，
交叉项 $k=\pm2ab=\pm2× n^2×3n=\pm6n^3$。
综上，符合条件的单项式 $k$ 有 $6n^3$、$-6n^3$、$\frac{81}{4}$、$\frac{n^6}{36}$。
【答案】
$6n^{3}$或$-6n^{3}$或$\frac {81}{4}$或$\frac {n^{6}}{36}$
【知识点】
完全平方公式，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活应用，解题关键是准确把握完全平方式的结构特征，通过分类讨论确定各项在完全平方式中的对应位置，容易因考虑不全面导致漏解，需注重思维的严谨性。
【难度系数】
0.3
