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三、解答题(共 4 小题)
13. 计算：
(1)$a· a^{2}· a^{3}$。
(2)$(-2ab)^{2}$。
(3)$(a^{3})^{5}$。
(4)$(-a)^{6}÷(-a)^{2}÷(-a)^{2}$。
13. 计算：
(1)$a· a^{2}· a^{3}$。
(2)$(-2ab)^{2}$。
(3)$(a^{3})^{5}$。
(4)$(-a)^{6}÷(-a)^{2}÷(-a)^{2}$。
答案
13. 解: (1)$a· a^{2}· a^{3}=a^{3}· a^{3}=a^{6}$。
(2)$(-2ab)^{2}=4a^{2}b^{2}$。
(3)$(a^{3})^{5}=a^{15}$。
(4)$(-a)^{6}÷(-a)^{2}÷(-a)^{2}=a^{6}÷a^{2}÷a^{2}=a^{4}÷a^{2}=a^{2}$。
(2)$(-2ab)^{2}=4a^{2}b^{2}$。
(3)$(a^{3})^{5}=a^{15}$。
(4)$(-a)^{6}÷(-a)^{2}÷(-a)^{2}=a^{6}÷a^{2}÷a^{2}=a^{4}÷a^{2}=a^{2}$。
解析
【分析】
这道题考查幂的相关运算，我们需要根据不同的运算法则逐一计算每一小问：
1. 第(1)问是同底数幂相乘，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将各指数相加即可得到结果。
2. 第(2)问是积的乘方，按照“积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的法则，分别对因式$-2$、$a$、$b$进行乘方运算后再相乘。
3. 第(3)问是幂的乘方，根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的法则，将原指数相乘得到新指数。
4. 第(4)问是同底数幂相除，先利用负数的偶次幂为正的性质统一底数，再依据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的法则，依次计算指数的差即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$，
$a· a^{2}· a^{3}=a^{1+2+3}=a^{6}$；
(2) 根据积的乘方法则：$(ab)^n = a^n b^n$，
$(-2ab)^{2}=(-2)^2 · a^2 · b^2=4a^{2}b^{2}$；
(3) 根据幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，
$(a^{3})^{5}=a^{3×5}=a^{15}$；
(4) 先利用负数的偶次幂性质：$(-a)^{2n}=a^{2n}$，再根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，
$(-a)^{6}÷(-a)^{2}÷(-a)^{2}=a^{6}÷a^{2}÷a^{2}=a^{6-2-2}=a^{2}$。
【答案】
(1)$a^6$；(2)$4a^2b^2$；(3)$a^{15}$；(4)$a^2$
【知识点】
同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，涵盖了幂运算的核心法则，解题时需准确区分不同运算法则，注意符号的处理，熟练掌握各类幂运算法则是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
这道题考查幂的相关运算，我们需要根据不同的运算法则逐一计算每一小问：
1. 第(1)问是同底数幂相乘，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将各指数相加即可得到结果。
2. 第(2)问是积的乘方，按照“积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的法则，分别对因式$-2$、$a$、$b$进行乘方运算后再相乘。
3. 第(3)问是幂的乘方，根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的法则，将原指数相乘得到新指数。
4. 第(4)问是同底数幂相除，先利用负数的偶次幂为正的性质统一底数，再依据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的法则，依次计算指数的差即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$，
$a· a^{2}· a^{3}=a^{1+2+3}=a^{6}$；
(2) 根据积的乘方法则：$(ab)^n = a^n b^n$，
$(-2ab)^{2}=(-2)^2 · a^2 · b^2=4a^{2}b^{2}$；
(3) 根据幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，
$(a^{3})^{5}=a^{3×5}=a^{15}$；
(4) 先利用负数的偶次幂性质：$(-a)^{2n}=a^{2n}$，再根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，
$(-a)^{6}÷(-a)^{2}÷(-a)^{2}=a^{6}÷a^{2}÷a^{2}=a^{6-2-2}=a^{2}$。
【答案】
(1)$a^6$；(2)$4a^2b^2$；(3)$a^{15}$；(4)$a^2$
【知识点】
同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，涵盖了幂运算的核心法则，解题时需准确区分不同运算法则，注意符号的处理，熟练掌握各类幂运算法则是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
14. 先化简，再求值：$(3a^{n + 2}+9a^{n + 1}-a^{n})÷(-6a^{n})$，其中 $a = -2$。（$n$ 为正整数）
答案
14. 解:$(3a^{n+2}+9a^{n+1}-a^{n})÷(-6a^{n})=-\frac {1}{2}a^{2}-\frac {3}{2}a+\frac {1}{6},$
当$a=-2$时,原式$=-\frac {1}{2}×(-2)^{2}-\frac {3}{2}×(-2)+\frac {1}{6}=1\frac {1}{6}$。
当$a=-2$时,原式$=-\frac {1}{2}×(-2)^{2}-\frac {3}{2}×(-2)+\frac {1}{6}=1\frac {1}{6}$。
解析
【分析】
这道题是整式化简求值题，解题思路分为两步：先化简再代入求值。首先回忆多项式除以单项式的法则，即把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加；接着结合同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）对每一项进行计算，注意符号的处理，得到最简整式；最后将$a=-2$代入最简式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算出结果。
【解析】
解：
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&(3a^{n + 2}+9a^{n + 1}-a^{n})÷(-6a^{n})\\=&3a^{n+2}÷(-6a^{n}) + 9a^{n+1}÷(-6a^{n}) - a^{n}÷(-6a^{n})\\=&-\frac{1}{2}a^{(n+2)-n} - \frac{3}{2}a^{(n+1)-n} + \frac{1}{6}a^{n-n}\\=&-\frac{1}{2}a^{2} - \frac{3}{2}a + \frac{1}{6}\end{aligned}$
2. 代入求值：
当$a = -2$时，
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=-\frac{1}{2}×(-2)^2 - \frac{3}{2}×(-2) + \frac{1}{6}\\=&-\frac{1}{2}×4 + 3 + \frac{1}{6}\\=&-2 + 3 + \frac{1}{6}\\=&1\frac{1}{6}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{3}{2}a+\frac{1}{6}$，求值结果为$1\frac{1}{6}$。
【知识点】
多项式除以单项式法则，同底数幂的除法法则，代数式求值
【点评】
本题考查整式除法运算与代数式求值，重点在于熟练运用多项式除以单项式的法则，运算时需注意符号变化和指数计算的准确性，代入求值时严格遵循有理数运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题是整式化简求值题，解题思路分为两步：先化简再代入求值。首先回忆多项式除以单项式的法则，即把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加；接着结合同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）对每一项进行计算，注意符号的处理，得到最简整式；最后将$a=-2$代入最简式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算出结果。
【解析】
解：
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&(3a^{n + 2}+9a^{n + 1}-a^{n})÷(-6a^{n})\\=&3a^{n+2}÷(-6a^{n}) + 9a^{n+1}÷(-6a^{n}) - a^{n}÷(-6a^{n})\\=&-\frac{1}{2}a^{(n+2)-n} - \frac{3}{2}a^{(n+1)-n} + \frac{1}{6}a^{n-n}\\=&-\frac{1}{2}a^{2} - \frac{3}{2}a + \frac{1}{6}\end{aligned}$
2. 代入求值：
当$a = -2$时，
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=-\frac{1}{2}×(-2)^2 - \frac{3}{2}×(-2) + \frac{1}{6}\\=&-\frac{1}{2}×4 + 3 + \frac{1}{6}\\=&-2 + 3 + \frac{1}{6}\\=&1\frac{1}{6}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{3}{2}a+\frac{1}{6}$，求值结果为$1\frac{1}{6}$。
【知识点】
多项式除以单项式法则，同底数幂的除法法则，代数式求值
【点评】
本题考查整式除法运算与代数式求值，重点在于熟练运用多项式除以单项式的法则，运算时需注意符号变化和指数计算的准确性，代入求值时严格遵循有理数运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
15. 关于 $x$ 的代数式$(ax - 3)(2x + 1)-4x^{2}+m$ 化简后不含有 $x^{2}$ 项和常数项。
(1)求 $a$ 和 $m$ 的值。
(2)若 $an + mn = -5$，求代数式 $-4n^{2}+3m$ 的值。
(1)求 $a$ 和 $m$ 的值。
(2)若 $an + mn = -5$，求代数式 $-4n^{2}+3m$ 的值。
答案
15. 解: (1)$(ax-3)(2x+1)-4x^{2}+m=2ax^{2}+ax-6x-3-4x^{2}+m=(2a-4)x^{2}+(a-6)x+m-3$。
因为化简后不含$x^{2}$项和常数项,
所以$2a-4=0,m-3=0,$
解得$a=2,m=3$。
(2)把$a=2,m=3$代入$an+mn=-5,$
得$2n+3n=-5,$
解得$n=-1,$
所以$-4n^{2}+3m=-4×(-1)^{2}+3×3=-4+9=5$。
因为化简后不含$x^{2}$项和常数项,
所以$2a-4=0,m-3=0,$
解得$a=2,m=3$。
(2)把$a=2,m=3$代入$an+mn=-5,$
得$2n+3n=-5,$
解得$n=-1,$
所以$-4n^{2}+3m=-4×(-1)^{2}+3×3=-4+9=5$。
解析
【分析】
对于第(1)问，首先需要将给定的代数式展开并合并同类项，整理成标准多项式形式。因为化简后不含$x^2$项和常数项，根据多项式性质，不含某一项意味着该项系数为0，由此可列出关于$a$和$m$的方程，进而求解出$a$和$m$的值。
对于第(2)问，先把第(1)问求出的$a$、$m$值代入已知等式$an+mn=-5$，通过合并同类项解出$n$的值，再将$n$和$m$的值代入目标代数式，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对代数式展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(ax - 3)(2x + 1) - 4x^2 + m&=2ax^2 + ax - 6x - 3 - 4x^2 + m\\&=(2a - 4)x^2 + (a - 6)x + m - 3\end{aligned}$
因为化简后不含$x^2$项和常数项，所以对应项系数为0，即：
$\begin{cases}2a - 4 = 0\\m - 3 = 0\end{cases}$
解得$a = 2$，$m = 3$。
(2) 将$a = 2$，$m = 3$代入$an + mn = -5$，得：
$2n + 3n = -5$
合并同类项得$5n = -5$，解得$n = -1$。
把$n = -1$，$m = 3$代入$-4n^2 + 3m$：
$-4×(-1)^2 + 3×3 = -4 + 9 = 5$
【答案】
(1) $a=2$，$m=3$；(2) $5$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题考查整式运算与代数式求值，关键是理解“不含某一项则该项系数为0”的性质，解题需熟练掌握多项式乘法法则与合并同类项方法，计算时注意符号准确性，属于基础题型，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，首先需要将给定的代数式展开并合并同类项，整理成标准多项式形式。因为化简后不含$x^2$项和常数项，根据多项式性质，不含某一项意味着该项系数为0，由此可列出关于$a$和$m$的方程，进而求解出$a$和$m$的值。
对于第(2)问，先把第(1)问求出的$a$、$m$值代入已知等式$an+mn=-5$，通过合并同类项解出$n$的值，再将$n$和$m$的值代入目标代数式，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对代数式展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(ax - 3)(2x + 1) - 4x^2 + m&=2ax^2 + ax - 6x - 3 - 4x^2 + m\\&=(2a - 4)x^2 + (a - 6)x + m - 3\end{aligned}$
因为化简后不含$x^2$项和常数项，所以对应项系数为0，即：
$\begin{cases}2a - 4 = 0\\m - 3 = 0\end{cases}$
解得$a = 2$，$m = 3$。
(2) 将$a = 2$，$m = 3$代入$an + mn = -5$，得：
$2n + 3n = -5$
合并同类项得$5n = -5$，解得$n = -1$。
把$n = -1$，$m = 3$代入$-4n^2 + 3m$：
$-4×(-1)^2 + 3×3 = -4 + 9 = 5$
【答案】
(1) $a=2$，$m=3$；(2) $5$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题考查整式运算与代数式求值，关键是理解“不含某一项则该项系数为0”的性质，解题需熟练掌握多项式乘法法则与合并同类项方法，计算时注意符号准确性，属于基础题型，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
16. 图 1 是一个长为 $2a$、宽为 $2b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成 $4$ 块小长方形，然后按图 2 的形状拼成一个正方形。
(1)观察图 2，则下列三个代数式 $(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$ 之间的等量关系为
(2)运用你所得到的公式，计算：若 $m$，$n$ 为实数，且 $mn = -3$，$m - n = 4$，试求 $m + n$ 的值。
(3)如图 3，$C$ 是线段 $AB$ 上的一点，以 $AC$，$BC$ 为边向两边作正方形，设 $AB = 8$，两正方形的面积和 $S_{1}+S_{2}=32$，求图中阴影部分面积。
(1)观察图 2，则下列三个代数式 $(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$ 之间的等量关系为
$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
。(2)运用你所得到的公式，计算：若 $m$，$n$ 为实数，且 $mn = -3$，$m - n = 4$，试求 $m + n$ 的值。
(3)如图 3，$C$ 是线段 $AB$ 上的一点，以 $AC$，$BC$ 为边向两边作正方形，设 $AB = 8$，两正方形的面积和 $S_{1}+S_{2}=32$，求图中阴影部分面积。
答案
16. 解: (1)$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
(2)由(1)得,$(m+n)^{2}=(m-n)^{2}+4mn,$
即$(m+n)^{2}=4^{2}+4×(-3)=4,$
所以$m+n=2$或$m+n=-2$。
(3)设正方形$ACDE$的边长为$x$,正方形$BCFG$的边长为$y$,则$S_{1}=x^{2},S_{2}=y^{2},$
由于$AB=8$,两正方形的面积和$S_{1}+S_{2}=32,$
因此$x+y=8,x^{2}+y^{2}=32,$
因为$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$,即$64=32+2xy,$
所以$xy=16,$
所以阴影部分的面积为$\frac {1}{2}xy=8$。
(2)由(1)得,$(m+n)^{2}=(m-n)^{2}+4mn,$
即$(m+n)^{2}=4^{2}+4×(-3)=4,$
所以$m+n=2$或$m+n=-2$。
(3)设正方形$ACDE$的边长为$x$,正方形$BCFG$的边长为$y$,则$S_{1}=x^{2},S_{2}=y^{2},$
由于$AB=8$,两正方形的面积和$S_{1}+S_{2}=32,$
因此$x+y=8,x^{2}+y^{2}=32,$
因为$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$,即$64=32+2xy,$
所以$xy=16,$
所以阴影部分的面积为$\frac {1}{2}xy=8$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察图2，大正方形边长为$(a+b)$，面积是$(a+b)^2$；阴影小正方形边长为$(a-b)$，面积是$(a-b)^2$；四个小长方形的面积和为$4ab$。大正方形的面积等于阴影小正方形面积与四个小长方形面积之和，由此可推导出三个代数式的等量关系。
2. 第(2)问：利用第(1)问得到的公式，将已知的$mn=-3$，$m-n=4$代入公式，先求出$(m+n)^2$的值，再通过开平方得到$m+n$的结果。
3. 第(3)问：设两个正方形的边长分别为$x$和$y$，根据$AB=8$可得$x+y=8$，根据两正方形面积和为32可得$x^2+y^2=32$。借助完全平方公式求出$xy$的值，而阴影部分是直角三角形，面积为$\frac{1}{2}xy$，代入$xy$的值即可算出阴影面积。
【解析】
(1) 由图2的面积关系可知：大正方形面积 = 阴影小正方形面积 + 四个小长方形面积，
大正方形面积为$(a+b)^2$，阴影小正方形面积为$(a-b)^2$，四个小长方形面积和为$4ab$，因此：
$\boldsymbol{(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab}$
(2) 根据(1)的公式可得：$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$，
将$mn=-3$，$m-n=4$代入上式：
$(m+n)^2=4^2+4×(-3)=16-12=4$，
对等式两边开平方，得$m+n=2$或$m+n=-2$。
(3) 设正方形$ACDE$的边长为$x$，正方形$BCFG$的边长为$y$，则$S_1=x^2$，$S_2=y^2$。
已知$AB=8$，故$x+y=8$；又$S_1+S_2=32$，即$x^2+y^2=32$。
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入$x+y=8$，$x^2+y^2=32$：
$8^2=32+2xy$，
即$64=32+2xy$，
解得$xy=16$。
阴影部分为直角三角形，面积为$\frac{1}{2}xy$，代入$xy=16$得：
$\frac{1}{2}×16=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab}$；
(2) $\boldsymbol{m+n=2}$或$\boldsymbol{m+n=-2}$；
(3) $\boldsymbol{8}$。
【知识点】
完全平方公式应用，代数式求值，三角形面积计算
【点评】
本题通过几何图形面积关系推导完全平方公式的变形形式，再结合公式解决代数计算与几何面积问题，体现了数形结合的思想，要求熟练掌握完全平方公式的变形及灵活应用。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：观察图2，大正方形边长为$(a+b)$，面积是$(a+b)^2$；阴影小正方形边长为$(a-b)$，面积是$(a-b)^2$；四个小长方形的面积和为$4ab$。大正方形的面积等于阴影小正方形面积与四个小长方形面积之和，由此可推导出三个代数式的等量关系。
2. 第(2)问：利用第(1)问得到的公式，将已知的$mn=-3$，$m-n=4$代入公式，先求出$(m+n)^2$的值，再通过开平方得到$m+n$的结果。
3. 第(3)问：设两个正方形的边长分别为$x$和$y$，根据$AB=8$可得$x+y=8$，根据两正方形面积和为32可得$x^2+y^2=32$。借助完全平方公式求出$xy$的值，而阴影部分是直角三角形，面积为$\frac{1}{2}xy$，代入$xy$的值即可算出阴影面积。
【解析】
(1) 由图2的面积关系可知：大正方形面积 = 阴影小正方形面积 + 四个小长方形面积，
大正方形面积为$(a+b)^2$，阴影小正方形面积为$(a-b)^2$，四个小长方形面积和为$4ab$，因此：
$\boldsymbol{(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab}$
(2) 根据(1)的公式可得：$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$，
将$mn=-3$，$m-n=4$代入上式：
$(m+n)^2=4^2+4×(-3)=16-12=4$，
对等式两边开平方，得$m+n=2$或$m+n=-2$。
(3) 设正方形$ACDE$的边长为$x$，正方形$BCFG$的边长为$y$，则$S_1=x^2$，$S_2=y^2$。
已知$AB=8$，故$x+y=8$；又$S_1+S_2=32$，即$x^2+y^2=32$。
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入$x+y=8$，$x^2+y^2=32$：
$8^2=32+2xy$，
即$64=32+2xy$，
解得$xy=16$。
阴影部分为直角三角形，面积为$\frac{1}{2}xy$，代入$xy=16$得：
$\frac{1}{2}×16=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab}$；
(2) $\boldsymbol{m+n=2}$或$\boldsymbol{m+n=-2}$；
(3) $\boldsymbol{8}$。
【知识点】
完全平方公式应用，代数式求值，三角形面积计算
【点评】
本题通过几何图形面积关系推导完全平方公式的变形形式，再结合公式解决代数计算与几何面积问题，体现了数形结合的思想，要求熟练掌握完全平方公式的变形及灵活应用。
【难度系数】
0.6
