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活动一:忆一忆 做一做
1. (1) 简便计算:
① $48^{2}+48×24+12^{2}$；
② $5×55^{2}-5×45^{2}$.
(2) 思考:在上述计算过程中,你用到了哪些因式分解的方法?
2. 分解因式:
(1) $4a^{4}-100$；
(2) $a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}$.
3. 在 $4a^{4}-100=(2a^{2}+10)(2a^{2}-10)$ 与 $a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}-b^{2})^{2}$ 的分解因式过程中，$(2a^{2}+10)(2a^{2}-10)$ 和 $(a^{2}-b^{2})^{2}$ 这两个结果是因式分解的最终结果吗? 如果不是,你认为还可以怎样分解?
1. (1) 简便计算:
① $48^{2}+48×24+12^{2}$；
② $5×55^{2}-5×45^{2}$.
(2) 思考:在上述计算过程中,你用到了哪些因式分解的方法?
2. 分解因式:
(1) $4a^{4}-100$；
(2) $a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}$.
3. 在 $4a^{4}-100=(2a^{2}+10)(2a^{2}-10)$ 与 $a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}-b^{2})^{2}$ 的分解因式过程中，$(2a^{2}+10)(2a^{2}-10)$ 和 $(a^{2}-b^{2})^{2}$ 这两个结果是因式分解的最终结果吗? 如果不是,你认为还可以怎样分解?
答案
活动一：1.（1）①3600 ②5000 （2）提公因式，运用公式法 2.（1）4(a² + 5)(a² - 5) （2）(a + b)²(a - b)² 3. 不是 (2a² + 10)(2a² - 10) = 4(a² + 5)(a² - 5) (a² - b²)² = (a - b)²(a + b)²
解析
【解析】
1. (1) ① 原式$=48^{2}+2×48×12+12^{2}=(48+12)^{2}=60^{2}=3600$；
② 原式$=5×(55^{2}-45^{2})=5×(55+45)(55-45)=5×100×10=5000$；
(2) 用到了提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）。
2. (1) 原式$=4(a^{4}-25)=4(a^{2}+5)(a^{2}-5)$；
(2) 原式$=(a^{2}-b^{2})^{2}=[(a+b)(a-b)]^{2}=(a+b)^{2}(a-b)^{2}$。
3. 不是最终结果。
$(2a^{2}+10)(2a^{2}-10)=2(a^{2}+5)×2(a^{2}-5)=4(a^{2}+5)(a^{2}-5)$；
$(a^{2}-b^{2})^{2}=[(a+b)(a-b)]^{2}=(a+b)^{2}(a-b)^{2}$。
【答案】
活动一:
1. (1) ① $\boldsymbol{3600}$；② $\boldsymbol{5000}$
(2) 提公因式法、运用公式法
2. (1) $\boldsymbol{4(a^{2}+5)(a^{2}-5)}$；(2) $\boldsymbol{(a+b)^{2}(a-b)^{2}}$
3. 不是最终结果。进一步分解为：$\boldsymbol{(2a^{2}+10)(2a^{2}-10)=4(a^{2}+5)(a^{2}-5)}$，$\boldsymbol{(a^{2}-b^{2})^{2}=(a+b)^{2}(a-b)^{2}}$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，因式分解的定义
【点评】
本题主要考查因式分解的应用，需要熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式进行因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.6
1. (1) ① 原式$=48^{2}+2×48×12+12^{2}=(48+12)^{2}=60^{2}=3600$；
② 原式$=5×(55^{2}-45^{2})=5×(55+45)(55-45)=5×100×10=5000$；
(2) 用到了提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）。
2. (1) 原式$=4(a^{4}-25)=4(a^{2}+5)(a^{2}-5)$；
(2) 原式$=(a^{2}-b^{2})^{2}=[(a+b)(a-b)]^{2}=(a+b)^{2}(a-b)^{2}$。
3. 不是最终结果。
$(2a^{2}+10)(2a^{2}-10)=2(a^{2}+5)×2(a^{2}-5)=4(a^{2}+5)(a^{2}-5)$；
$(a^{2}-b^{2})^{2}=[(a+b)(a-b)]^{2}=(a+b)^{2}(a-b)^{2}$。
【答案】
活动一:
1. (1) ① $\boldsymbol{3600}$；② $\boldsymbol{5000}$
(2) 提公因式法、运用公式法
2. (1) $\boldsymbol{4(a^{2}+5)(a^{2}-5)}$；(2) $\boldsymbol{(a+b)^{2}(a-b)^{2}}$
3. 不是最终结果。进一步分解为：$\boldsymbol{(2a^{2}+10)(2a^{2}-10)=4(a^{2}+5)(a^{2}-5)}$，$\boldsymbol{(a^{2}-b^{2})^{2}=(a+b)^{2}(a-b)^{2}}$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，因式分解的定义
【点评】
本题主要考查因式分解的应用，需要熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式进行因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.6
活动二:想一想 做一做
将下列各式分解因式:
(1) $12a^{2}-75$；
(2) $3x^{2}y-12xy+12y$；
(3) $x^{2}(m+n)-y^{2}(m+n)$；
(4) $x^{4}-81$；
(5) $x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}$.
将下列各式分解因式:
(1) $12a^{2}-75$；
(2) $3x^{2}y-12xy+12y$；
(3) $x^{2}(m+n)-y^{2}(m+n)$；
(4) $x^{4}-81$；
(5) $x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}$.
答案
活动二：（1）3(2a + 5)(2a - 5) （2）3y(x - 2)² （3）(m + n)(x + y)(x - y) （4）(x² + 9)(x + 3)(x - 3) （5）(x + y)²(x - y)²
解析
【解析】
(1) 先提取公因式3，再利用平方差公式分解：
$12a^{2}-75=3(4a^{2}-25)=3(2a+5)(2a-5)$；
(2) 先提取公因式3y，再利用完全平方公式分解：
$3x^{2}y-12xy+12y=3y(x^{2}-4x+4)=3y(x-2)^{2}$；
(3) 先提取公因式$(m+n)$，再利用平方差公式分解：
$x^{2}(m+n)-y^{2}(m+n)=(m+n)(x^{2}-y^{2})=(m+n)(x+y)(x-y)$；
(4) 先利用平方差公式分解，再对其中的平方差式继续分解：
$x^{4}-81=(x^{2})^{2}-9^{2}=(x^{2}+9)(x^{2}-9)=(x^{2}+9)(x+3)(x-3)$；
(5) 先利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解，最后整理：
$x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}=[(x+y)(x-y)]^{2}=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$。
【答案】
(1) $3(2a + 5)(2a - 5)$；
(2) $3y(x - 2)^{2}$；
(3) $(m + n)(x + y)(x - y)$；
(4) $(x^{2} + 9)(x + 3)(x - 3)$；
(5) $(x + y)^{2}(x - y)^{2}$
【知识点】
提公因式法、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题需遵循“先提公因式，再用公式法”的步骤，且要保证因式分解彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
(1) 先提取公因式3，再利用平方差公式分解：
$12a^{2}-75=3(4a^{2}-25)=3(2a+5)(2a-5)$；
(2) 先提取公因式3y，再利用完全平方公式分解：
$3x^{2}y-12xy+12y=3y(x^{2}-4x+4)=3y(x-2)^{2}$；
(3) 先提取公因式$(m+n)$，再利用平方差公式分解：
$x^{2}(m+n)-y^{2}(m+n)=(m+n)(x^{2}-y^{2})=(m+n)(x+y)(x-y)$；
(4) 先利用平方差公式分解，再对其中的平方差式继续分解：
$x^{4}-81=(x^{2})^{2}-9^{2}=(x^{2}+9)(x^{2}-9)=(x^{2}+9)(x+3)(x-3)$；
(5) 先利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解，最后整理：
$x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}=[(x+y)(x-y)]^{2}=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$。
【答案】
(1) $3(2a + 5)(2a - 5)$；
(2) $3y(x - 2)^{2}$；
(3) $(m + n)(x + y)(x - y)$；
(4) $(x^{2} + 9)(x + 3)(x - 3)$；
(5) $(x + y)^{2}(x - y)^{2}$
【知识点】
提公因式法、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题需遵循“先提公因式，再用公式法”的步骤，且要保证因式分解彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
活动三:试一试 做一做
(1) 探究:$x^{2}+8x-9=(x-4)^{2}-5^{2}$ 成立吗? 你能将 $x^{2}+8x-9$ 分解因式吗?
(2) 仿照(1)的方法,将 $x^{2}+6x-16$ 分解因式.
(1) 探究:$x^{2}+8x-9=(x-4)^{2}-5^{2}$ 成立吗? 你能将 $x^{2}+8x-9$ 分解因式吗?
(2) 仿照(1)的方法,将 $x^{2}+6x-16$ 分解因式.
答案
活动三：（1）(x + 9)(x - 1) （2）(x - 2)(x + 8)
解析
【解析】
（1）先验证等式：
右边$(x-4)^2 -5^2 = x^2 -8x +16 -25 = x^2 -8x -9$，与左边$x^2+8x-9$不相等，故等式不成立。
分解$x^2+8x-9$：
$x^2+8x-9 = x^2+8x+16 -16 -9 = (x+4)^2 -25 = (x+4+5)(x+4-5) = (x+9)(x-1)$。
（2）分解$x^2+6x-16$：
$x^2+6x-16 = x^2+6x+9 -9 -16 = (x+3)^2 -25 = (x+3+5)(x+3-5) = (x-2)(x+8)$。
【答案】
（1）等式不成立，分解因式结果为$\boldsymbol{(x + 9)(x - 1)}$；（2）$\boldsymbol{(x - 2)(x + 8)}$
【知识点】
配方法分解因式，平方差公式
【点评】
本题考查配方法结合平方差公式分解因式，需先通过配方将二次三项式转化为平方差形式，再利用平方差公式分解，训练了配方技巧与公式的灵活应用。
【难度系数】
0.6
（1）先验证等式：
右边$(x-4)^2 -5^2 = x^2 -8x +16 -25 = x^2 -8x -9$，与左边$x^2+8x-9$不相等，故等式不成立。
分解$x^2+8x-9$：
$x^2+8x-9 = x^2+8x+16 -16 -9 = (x+4)^2 -25 = (x+4+5)(x+4-5) = (x+9)(x-1)$。
（2）分解$x^2+6x-16$：
$x^2+6x-16 = x^2+6x+9 -9 -16 = (x+3)^2 -25 = (x+3+5)(x+3-5) = (x-2)(x+8)$。
【答案】
（1）等式不成立，分解因式结果为$\boldsymbol{(x + 9)(x - 1)}$；（2）$\boldsymbol{(x - 2)(x + 8)}$
【知识点】
配方法分解因式，平方差公式
【点评】
本题考查配方法结合平方差公式分解因式，需先通过配方将二次三项式转化为平方差形式，再利用平方差公式分解，训练了配方技巧与公式的灵活应用。
【难度系数】
0.6
