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1. 将下列多项式分解因式后,结果含有相同因式的是 (
① $16x^{5}-x$,② $(x-1)^{2}-4(x-1)+4$,③ $(x+1)^{4}-4x(x+1)^{2}+4x^{2}$,④ $-4x^{2}-1+4x$.
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
C
)① $16x^{5}-x$,② $(x-1)^{2}-4(x-1)+4$,③ $(x+1)^{4}-4x(x+1)^{2}+4x^{2}$,④ $-4x^{2}-1+4x$.
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
答案
1. C
解析
【解析】
分别对各多项式分解因式：
① $16x^{5}-x=x(16x^{4}-1)=x(4x^{2}-1)(4x^{2}+1)=x(2x-1)(2x+1)(4x^{2}+1)$；
② $(x-1)^{2}-4(x-1)+4=[(x-1)-2]^{2}=(x-3)^{2}$；
③ $(x+1)^{4}-4x(x+1)^{2}+4x^{2}=[(x+1)^{2}-2x]^{2}=(x^{2}+2x+1-2x)^{2}=(x^{2}+1)^{2}$；
④ $-4x^{2}-1+4x=-(4x^{2}-4x+1)=-(2x-1)^{2}$。
其中①和④的分解结果含有相同因式$(2x-1)$，因此符合题意的是①④。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法分解因式、公式法分解因式（平方差、完全平方）
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，需熟练掌握提取公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式），分解因式时要注意分解彻底，再通过对比因式找出含有相同因式的选项。
【难度系数】
0.6
分别对各多项式分解因式：
① $16x^{5}-x=x(16x^{4}-1)=x(4x^{2}-1)(4x^{2}+1)=x(2x-1)(2x+1)(4x^{2}+1)$；
② $(x-1)^{2}-4(x-1)+4=[(x-1)-2]^{2}=(x-3)^{2}$；
③ $(x+1)^{4}-4x(x+1)^{2}+4x^{2}=[(x+1)^{2}-2x]^{2}=(x^{2}+2x+1-2x)^{2}=(x^{2}+1)^{2}$；
④ $-4x^{2}-1+4x=-(4x^{2}-4x+1)=-(2x-1)^{2}$。
其中①和④的分解结果含有相同因式$(2x-1)$，因此符合题意的是①④。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法分解因式、公式法分解因式（平方差、完全平方）
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，需熟练掌握提取公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式），分解因式时要注意分解彻底，再通过对比因式找出含有相同因式的选项。
【难度系数】
0.6
2. 分解因式:
(1) $2m^{2}-2n^{2}$；
(2) $3ax^{2}+6axy+3ay^{2}$；
(3) $x^{2}(y-4)-9(y-4)$；
(4) $x^{4}-81$；
(5) $(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$；
(6) $16m^{4}-8m^{2}n^{2}+n^{4}$.
(1) $2m^{2}-2n^{2}$；
(2) $3ax^{2}+6axy+3ay^{2}$；
(3) $x^{2}(y-4)-9(y-4)$；
(4) $x^{4}-81$；
(5) $(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$；
(6) $16m^{4}-8m^{2}n^{2}+n^{4}$.
答案
2.（1）2(m + n)(m - n) （2）3a(x + y)² （3）(y - 4)(x + 3)(x - 3) （4）(x² + 9)(x + 3)(x - 3) （5）(x + y)²(x - y)² （6）(2m + n)²(2m - n)²
解析
【解析】
(1) 先提取公因式2，再利用平方差公式分解：
$2m^{2}-2n^{2}=2(m^{2}-n^{2})=2(m+n)(m-n)$；
(2) 先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解：
$3ax^{2}+6axy+3ay^{2}=3a(x^{2}+2xy+y^{2})=3a(x+y)^{2}$；
(3) 先提取公因式$(y-4)$，再利用平方差公式分解：
$x^{2}(y-4)-9(y-4)=(y-4)(x^{2}-9)=(y-4)(x+3)(x-3)$；
(4) 先利用平方差公式分解，再对其中的因式继续用平方差公式分解：
$x^{4}-81=(x^{2})^{2}-9^{2}=(x^{2}+9)(x^{2}-9)=(x^{2}+9)(x+3)(x-3)$；
(5) 先利用平方差公式分解，再对两个因式分别用完全平方公式分解：
$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$；
(6) 先利用完全平方公式分解，再对其中的因式用平方差公式分解，最后整理：
$16m^{4}-8m^{2}n^{2}+n^{4}=(4m^{2}-n^{2})^{2}=[(2m+n)(2m-n)]^{2}=(2m+n)^{2}(2m-n)^{2}$。
【答案】
(1) $2(m + n)(m - n)$；
(2) $3a(x + y)^{2}$；
(3) $(y - 4)(x + 3)(x - 3)$；
(4) $(x^{2} + 9)(x + 3)(x - 3)$；
(5) $(x + y)^{2}(x - y)^{2}$；
(6) $(2m + n)^{2}(2m - n)^{2}$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需熟练掌握提公因式法和公式法，分解因式要彻底，直至因式不能再分解。
【难度系数】
0.6
(1) 先提取公因式2，再利用平方差公式分解：
$2m^{2}-2n^{2}=2(m^{2}-n^{2})=2(m+n)(m-n)$；
(2) 先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解：
$3ax^{2}+6axy+3ay^{2}=3a(x^{2}+2xy+y^{2})=3a(x+y)^{2}$；
(3) 先提取公因式$(y-4)$，再利用平方差公式分解：
$x^{2}(y-4)-9(y-4)=(y-4)(x^{2}-9)=(y-4)(x+3)(x-3)$；
(4) 先利用平方差公式分解，再对其中的因式继续用平方差公式分解：
$x^{4}-81=(x^{2})^{2}-9^{2}=(x^{2}+9)(x^{2}-9)=(x^{2}+9)(x+3)(x-3)$；
(5) 先利用平方差公式分解，再对两个因式分别用完全平方公式分解：
$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$；
(6) 先利用完全平方公式分解，再对其中的因式用平方差公式分解，最后整理：
$16m^{4}-8m^{2}n^{2}+n^{4}=(4m^{2}-n^{2})^{2}=[(2m+n)(2m-n)]^{2}=(2m+n)^{2}(2m-n)^{2}$。
【答案】
(1) $2(m + n)(m - n)$；
(2) $3a(x + y)^{2}$；
(3) $(y - 4)(x + 3)(x - 3)$；
(4) $(x^{2} + 9)(x + 3)(x - 3)$；
(5) $(x + y)^{2}(x - y)^{2}$；
(6) $(2m + n)^{2}(2m - n)^{2}$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需熟练掌握提公因式法和公式法，分解因式要彻底，直至因式不能再分解。
【难度系数】
0.6
1. 下面是小明的探究过程:
$x^{4}+4=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}=(x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x+2)·(x^{2}-2x+2)$.
仿照小明的做法,把 $x^{4}+x^{2}+1$ 分解因式.
$x^{4}+4=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}=(x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x+2)·(x^{2}-2x+2)$.
仿照小明的做法,把 $x^{4}+x^{2}+1$ 分解因式.
答案
1. x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² - x² + 1 = (x² + 1)² - x² = (x² - x + 1)(x² + x + 1)
解析
【解析】
仿照小明的添项拆项法分解因式：
$x^{4}+x^{2}+1=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$
【答案】
$(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查添项拆项法分解因式，核心是通过添项构造可利用公式的多项式形式，需熟练掌握完全平方公式与平方差公式的运用，侧重多项式变形技巧的考查。
【难度系数】
0.4
仿照小明的添项拆项法分解因式：
$x^{4}+x^{2}+1=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$
【答案】
$(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查添项拆项法分解因式，核心是通过添项构造可利用公式的多项式形式，需熟练掌握完全平方公式与平方差公式的运用，侧重多项式变形技巧的考查。
【难度系数】
0.4
2. 用配方法可以将多项式 $x^{2}+bx+c$ 变形为 $(x+m)^{2}+n$ 的形式,其本质是完全平方公式的逆用,即 $a^{2}\pm2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$.
例如:若将多项式 $x^{2}+2x+5$ 进行配方,则 $x^{2}+2x+5=x^{2}+2x+1^{2}+4=(x+1)^{2}+4$.
配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用.
(1) 将多项式 $x^{2}-6x+13$ 配方为 $(x+m)^{2}+n$ 的形式,则 $m=$
(2) 若多项式 $A=2x(x-2)$,$B=(x+3)(x-3)$,证明:无论 $x$ 取何值,$A-B＞0$ 均成立.
例如:若将多项式 $x^{2}+2x+5$ 进行配方,则 $x^{2}+2x+5=x^{2}+2x+1^{2}+4=(x+1)^{2}+4$.
配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用.
(1) 将多项式 $x^{2}-6x+13$ 配方为 $(x+m)^{2}+n$ 的形式,则 $m=$
-3
,$n=$4
.(2) 若多项式 $A=2x(x-2)$,$B=(x+3)(x-3)$,证明:无论 $x$ 取何值,$A-B＞0$ 均成立.
答案
2.（1）-3 4 （2）A - B = 2x(x - 2) - (x + 3)(x - 3) = 2x² - 4x - x² + 9 = x² - 4x + 9 = x² - 4x + 4 + 5 = (x - 2)² + 5.
∵(x - 2)² ≥ 0，
∴(x - 2)² + 5 ＞ 0，
∴A - B ＞ 0
∵(x - 2)² ≥ 0，
∴(x - 2)² + 5 ＞ 0，
∴A - B ＞ 0
解析
【解析】
(1) 对多项式$x^2 - 6x + 13$进行配方：
$x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + (-3)^2 + 13 - 9 = (x - 3)^2 + 4$，对比$(x+m)^2+n$，可得$m=-3$，$n=4$。
(2) 先计算$A-B$：
$A-B = 2x(x-2) - (x+3)(x-3)$
$= 2x^2 - 4x - (x^2 - 9)$
$= 2x^2 - 4x - x^2 + 9$
$= x^2 - 4x + 9$
再对$x^2 - 4x + 9$配方：
$x^2 - 4x + 9 = x^2 - 4x + 2^2 + 5 = (x - 2)^2 + 5$
因为$(x-2)^2 ≥ 0$，所以$(x-2)^2 + 5 ＞ 0$，即无论$x$取何值，$A-B＞0$均成立。
【答案】
(1) $-3$，$4$；(2) 证明如上。
【知识点】
配方法的应用、平方的非负性、整式混合运算
【点评】
本题考查配方法的实际应用及整式的混合运算，第一问直接利用配方法步骤即可求解，第二问通过整式运算化简后配方，结合平方的非负性证明不等式恒成立，需熟练掌握配方法和整式运算规则。
【难度系数】
0.6
(1) 对多项式$x^2 - 6x + 13$进行配方：
$x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + (-3)^2 + 13 - 9 = (x - 3)^2 + 4$，对比$(x+m)^2+n$，可得$m=-3$，$n=4$。
(2) 先计算$A-B$：
$A-B = 2x(x-2) - (x+3)(x-3)$
$= 2x^2 - 4x - (x^2 - 9)$
$= 2x^2 - 4x - x^2 + 9$
$= x^2 - 4x + 9$
再对$x^2 - 4x + 9$配方：
$x^2 - 4x + 9 = x^2 - 4x + 2^2 + 5 = (x - 2)^2 + 5$
因为$(x-2)^2 ≥ 0$，所以$(x-2)^2 + 5 ＞ 0$，即无论$x$取何值，$A-B＞0$均成立。
【答案】
(1) $-3$，$4$；(2) 证明如上。
【知识点】
配方法的应用、平方的非负性、整式混合运算
【点评】
本题考查配方法的实际应用及整式的混合运算，第一问直接利用配方法步骤即可求解，第二问通过整式运算化简后配方，结合平方的非负性证明不等式恒成立，需熟练掌握配方法和整式运算规则。
【难度系数】
0.6
