1. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()

A.$x^2 + 2xy - y^2$
B.$x^2 - xy + 4y^2$
C.$x^2 - xy + \frac{y^2}{4}$
D.$x^2 - 5xy + 10y^2$

1. C

【解析】
完全平方公式的结构特征为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
选项A：$x^2 + 2xy - y^2$，最后一项为负，不满足平方和的形式，不符合完全平方公式；
选项B：$x^2 - xy + 4y^2$，中间项应为$\pm4xy$，与原式中间项$-xy$不符，不符合；
选项C：$x^2 - xy + \frac{y^2}{4}=x^2 - 2· x·\frac{y}{2}+(\frac{y}{2})^2$，符合完全平方公式的结构，可分解为$(x-\frac{y}{2})^2$；
选项D：$x^2 - 5xy + 10y^2$，中间项应为$\pm2\sqrt{10}xy$，与原式中间项$-5xy$不符，不符合。
综上，能用完全平方公式分解因式的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征及因式分解的应用，解题需准确掌握完全平方公式的构成要素，通过对比各选项与公式结构的差异进行判断，侧重对基础公式的理解与运用。
【难度系数】
0.8

2. 如果多项式 $x^2 + 1$ 加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是()

A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$

2. D

【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对各选项逐一分析：
选项A：$x^2 + 1 + 2x=(x+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解；
选项B：$x^2 + 1 - 2x=(x-1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解；
选项C：$x^2 + 1 + \frac{1}{4}x^4=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，可直接用完全平方公式因式分解；
选项D：$x^2 + 1 - \frac{1}{4}x^4$无法整理成完全平方的形式，不能直接用完全平方公式因式分解。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，需结合完全平方公式的结构特征，将多项式看作完全平方的不同组成部分分析，培养对公式的变形理解能力。
【难度系数】
0.6

3. 填空：
(1) 如果 $a^2 - 8ab + 16b^2 = 0$，且 $b = 2.5$，那么 $a =$；
(2) 已知 $x^2 + mx + 16$ 能用完全平方公式因式分解，则 $m$ 的值为。

3. (1) 10 (2) $ \pm 8 $

【解析】
(1) 对等式左边因式分解：$a^2 - 8ab + 16b^2=(a-4b)^2$，由$(a-4b)^2=0$得$a-4b=0$，即$a=4b$。将$b=2.5$代入，得$a=4×2.5=10$。
(2) 因为$x^2 + mx + 16$能用完全平方公式因式分解，而$16=(\pm4)^2$，根据完全平方公式$(x\pm4)^2=x^2\pm8x+16$，所以$m=\pm8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) $\boldsymbol{\pm8}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用，需熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过因式分解或逆用公式求解参数值。
【难度系数】
0.7

4. 把下列各式分解因式：
(1) $4x^2 + 4x + 1$；
(2) $1 - 6y + 9y^2$；
(3) $1 + m + \frac{m^2}{4}$；
(4) $4x^2 - 12xy + 9y^2$；
(5) $\frac{m^2}{9} + \frac{2mn}{3} + n^2$；
(6) $(x + y)^2 - 12(x + y) + 36$。

4. (1) $ (2 x+1)^{2} $ (2) $ (1-3 y)^{2} $ (3) $ (1+\frac{m}{2})^{2} $ (4) $ (2 x-3 y)^{2} $ (5) $ (\frac{m}{3}+n)^{2} $ (6) $ (x+y-6)^{2} $

【解析】
本题可利用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$进行因式分解：
(1) $4x^2 + 4x + 1=(2x)^2+2×2x×1+1^2=(2x+1)^2$；
(2) $1 - 6y + 9y^2=1^2-2×1×3y+(3y)^2=(1-3y)^2$；
(3) $1 + m + \frac{m^2}{4}=1^2+2×1×\frac{m}{2}+(\frac{m}{2})^2=(1+\frac{m}{2})^2$；
(4) $4x^2 - 12xy + 9y^2=(2x)^2-2×2x×3y+(3y)^2=(2x-3y)^2$；
(5) $\frac{m^2}{9} + \frac{2mn}{3} + n^2=(\frac{m}{3})^2+2×\frac{m}{3}× n+n^2=(\frac{m}{3}+n)^2$；
(6) 将$x+y$看作整体，$(x + y)^2 - 12(x + y) + 36=(x+y)^2-2×(x+y)×6+6^2=(x+y-6)^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2x+1)^{2}}$；
(2) $\boldsymbol{(1-3y)^{2}}$；
(3) $\boldsymbol{(1+\frac{m}{2})^{2}}$；
(4) $\boldsymbol{(2x-3y)^{2}}$；
(5) $\boldsymbol{(\frac{m}{3}+n)^{2}}$；
(6) $\boldsymbol{(x+y-6)^{2}}$
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题考查利用完全平方公式进行因式分解，解题关键是准确识别完全平方公式中的$a$和$b$，第(6)题需运用整体思想，将$x+y$视为一个整体进行分解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

1. 用图中的四个矩形拼成一个大矩形，画出该大矩形，并据此写出一个多项式的因式分解。

1. 拼出的图形如图, $ \therefore x^{2}+3 x+2=(x+1)(x+2) $

【解析】
将四个矩形拼接成长为$(x+2)$、宽为$(x+1)$的大矩形。四个小矩形的面积和为$x^2 + x + 2x + 2 = x^2+3x+2$，大矩形的面积为$(x+1)(x+2)$，根据拼接前后面积相等，可得对应的多项式因式分解。
【答案】
拼出的大矩形如图所示，$x^{2}+3 x+2=(x+1)(x+2)$
【知识点】
多项式因式分解、矩形面积公式
【点评】
本题借助图形拼接，将代数中的因式分解与几何图形面积相结合，渗透数形结合思想，直观展现因式分解的几何意义，便于理解因式分解的本质。
【难度系数】
0.8

2. 观察下列解题过程：
$a^2 + 2ab - 3b^2 = a^2 + 2ab + (b^2 - b^2) - 3b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - b^2 - 3b^2 = (a + b)^2 - 4b^2 = (a + b + 2b)(a + b - 2b) = (a + 3b)(a - b)$。
像这样通过先添上一项出现完全平方式，再减去这项，使得整个式子的值不变的方法叫作配方法。请利用这种方法解决下列问题：
(1) 因式分解：$a^2 - 8a + 15$；
(2) 已知等腰三角形的两边 $m$，$n$ 满足 $m^2 + n^2 - 4m - 10n + 29 = 0$，求这个三角形的周长。

2. (1) $ a^{2}-8 a+15=(a-4)^{2}-1=(a-4+1)(a-4-1)=(a-3)(a-5) $ (2) $ m=2, n=5 $, 这个三角形的周长为 $ 5+5+2=12 $

【解析】
(1) 利用配方法因式分解：
$a^2 - 8a + 15 = a^2 - 8a + 16 - 16 + 15 = (a - 4)^2 - 1 = (a - 4 + 1)(a - 4 - 1) = (a - 3)(a - 5)$；
(2) 对等式进行配方：
$m^2 + n^2 - 4m - 10n + 29 = 0$
整理得$(m^2 - 4m + 4) + (n^2 - 10n + 25) = 0$
即$(m - 2)^2 + (n - 5)^2 = 0$
因为平方数为非负数，所以$m - 2 = 0$，$n - 5 = 0$，解得$m = 2$，$n = 5$。
根据等腰三角形三边关系，两边之和大于第三边，若腰长为2，$2 + 2 ＜ 5$，不满足三边关系，故腰长为5，底边长为2，
则三角形的周长为$5 + 5 + 2 = 12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a - 3)(a - 5)}$；
(2) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
配方法的应用、非负数的性质、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查配方法的应用，第一问结合平方差公式实现因式分解，第二问通过配方法转化为非负数和的形式求解边长，再结合等腰三角形性质与三边关系确定周长，既考查代数变形能力，又考查几何知识的应用，注重知识的综合运用。
【难度系数】
0.6