观察下列分数加减运算的式子：$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$.你能根据它们推广得出分式的加减法法则吗？

1. 同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。即$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$（$c ≠ 0$）。
2. 异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法法则进行计算。即$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$（$b ≠ 0$，$d ≠ 0$）。

例 计算：
（1）$\frac{x^{2}-3xy}{x-y}+\frac{y^{2}-3xy}{y-x}$； （2）$\frac{1}{2p+3q}+\frac{1}{2p-3q}$.

（1）
$\begin{aligned}&\frac{x^{2} - 3xy}{x - y} + \frac{y^{2} - 3xy}{y - x} \\&= \frac{x^{2} - 3xy}{x - y} - \frac{y^{2} - 3xy}{x - y} \quad (因为 \frac{1}{y-x} = -\frac{1}{x-y})\\&= \frac{x^{2} - 3xy - y^{2} + 3xy}{x - y} \\&= \frac{x^{2} - y^{2}}{x - y} \\&= \frac{(x + y)(x - y)}{x - y} \quad (因为 x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y))\\&= x + y \quad (因为 x ≠ y)\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&\frac{1}{2p + 3q} + \frac{1}{2p - 3q} \\&= \frac{2p - 3q + 2p + 3q}{(2p + 3q)(2p - 3q)} \quad (找公共分母)\\&= \frac{4p}{4p^{2} - 9q^{2}} \quad (因为 (a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2})\end{aligned}$

(1)计算：$\frac{1}{3a}+\frac{2}{3a}=$，$\frac{a^{2}}{a-b}-\frac{b^{2}}{a-b}=$；

$\frac{1}{a}$；$a+b$。

第一题：
$\frac{1}{3a} + \frac{2}{3a} = \frac{1 + 2}{3a} = \frac{3}{3a} = \frac{1}{a}$。
第二题：
$\frac{a^2}{a - b} - \frac{b^2}{a - b} = \frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b$。

(2)计算：$\frac{x+y}{x-3}-\frac{x-y}{3-x}=$，$\frac{x}{(x-y)^{2}}+\frac{-y}{(y-x)^{2}}=$.

$\frac{2x}{x-3}$，$\frac{1}{x-y}$

第一小题：$\frac{x+y}{x-3}-\frac{x-y}{3-x}$
1. 变形分母：
因为 $3 - x = -(x - 3)$，所以原式可化为：
$\frac{x+y}{x-3} - \frac{x-y}{-(x-3)} = \frac{x+y}{x-3} + \frac{x-y}{x-3}$
2. 同分母分式相加：
$\frac{(x + y) + (x - y)}{x - 3} = \frac{x + y + x - y}{x - 3} = \frac{2x}{x - 3}$
第二小题：$\frac{x}{(x-y)^2} + \frac{-y}{(y-x)^2}$
1. 变形分母：
因为 $(y - x)^2 = (x - y)^2$，所以原式可化为：
$\frac{x}{(x - y)^2} + \frac{-y}{(x - y)^2}$
2. 同分母分式相加：
$\frac{x - y}{(x - y)^2} = \frac{1}{x - y}$

(1)计算$\frac{2m}{2m+n}-\frac{m-n}{n+2m}$的结果是().

A.$\frac{m-n}{n+2m}$
B.$\frac{m+n}{n+2m}$
C.$\frac{3m-n}{n+2m}$
D.$\frac{3m+n}{n+2m}$

B

因为两个分式的分母相同，根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，所以$\frac{2m}{2m + n}-\frac{m - n}{n + 2m}=\frac{2m-(m - n)}{2m + n}$，去括号得$\frac{2m - m + n}{2m + n}=\frac{m + n}{2m + n}$，即$\frac{m + n}{n + 2m}$。

(2)化简$\frac{b^{2}}{2a-b}+\frac{4a^{2}}{b-2a}$的结果是().

A.$-2a-b$
B.$b-2a$
C.$2a-b$
D.$b+2a$

A

本题可先将两个分式化为同分母分式，再进行加减运算，最后对结果进行化简。
步骤一：将两个分式化为同分母分式
观察原式$\frac{b^{2}}{2a - b} + \frac{4a^{2}}{b - 2a}$，发现两个分式的分母$2a - b$与$b - 2a$互为相反数，根据分式的基本性质，将$\frac{4a^{2}}{b - 2a}$变形为$-\frac{4a^{2}}{2a - b}$，则原式可化为$\frac{b^{2}}{2a - b} - \frac{4a^{2}}{2a - b}$。
步骤二：进行同分母分式的减法运算
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{b^{2}}{2a - b} - \frac{4a^{2}}{2a - b}=\frac{b^{2}-4a^{2}}{2a - b}$
步骤三：对分子进行因式分解并化简
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，对分子$b^{2}-4a^{2}$进行因式分解，可得$b^{2}-4a^{2}=(b + 2a)(b - 2a)$，则$\frac{b^{2}-4a^{2}}{2a - b}=\frac{(b + 2a)(b - 2a)}{2a - b}$。
因为$2a - b=-(b - 2a)$，所以$\frac{(b + 2a)(b - 2a)}{2a - b}=\frac{(b + 2a)(b - 2a)}{-(b - 2a)}=-(b + 2a)=-2a - b$。

3. 计算：
（1）$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}$； （2）$\frac{a+b}{ab}-\frac{b+c}{bc}$；
（3）$\frac{3}{x-1}-\frac{x+2}{x^{2}-x}$； （4）$y+2-\frac{4}{2-y}$.

（1）$\frac{2x}{x^{2}-9}$；（2）$\frac{c-a}{ac}$；（3）$\frac{2}{x}$；（4）$\frac{y^{2}}{y-2}$

（1）原式=$\frac{(x+3)+(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x}{x^{2}-9}$
（2）原式=$\frac{c(a+b)-a(b+c)}{abc}=\frac{ac+bc-ab-ac}{abc}=\frac{bc-ab}{abc}=\frac{b(c-a)}{abc}=\frac{c-a}{ac}$
（3）原式=$\frac{3x}{x(x-1)}-\frac{x+2}{x(x-1)}=\frac{3x-(x+2)}{x(x-1)}=\frac{2x-2}{x(x-1)}=\frac{2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{2}{x}$
（4）原式=$\frac{(y+2)(2-y)-4}{2-y}=\frac{4-y^{2}-4}{2-y}=\frac{-y^{2}}{2-y}=\frac{y^{2}}{y-2}$