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13. 已知直线$y = kx(k≠ 0)$经过点$(12,-5)$，将直线向上平移$m(m＞ 0)$个单位，若平移后得到的直线与半径为6的$\odot O$相交(点$O$为坐标原点)，则$m$的取值范围为
$0 ＜ m ＜ 6.5$
。答案
13. $0 ＜ m ＜ 6.5$
解析
【解析】
1. 求原直线解析式：将点$(12,-5)$代入$y=kx$，得$-5=12k$，解得$k=-\frac{5}{12}$，故原直线解析式为$y=-\frac{5}{12}x$。
2. 确定平移后直线解析式：根据一次函数平移规律“上加下减”，将直线向上平移$m(m＞0)$个单位后，解析式为$y=-\frac{5}{12}x + m$，整理为标准式$5x + 12y - 12m = 0$。
3. 利用直线与圆相交的条件分析：$\odot O$以原点为圆心、半径为6，直线与圆相交时，圆心到直线的距离$d$小于半径。根据点到直线的距离公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入圆心$(0,0)$及直线$5x + 12y - 12m = 0$，得$d=\frac{| -12m |}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{12m}{13}$。
4. 列不等式求解：由$d＜6$，即$\frac{12m}{13}＜6$，解得$m＜6.5$。结合$m＞0$，可得$m$的取值范围为$0＜m＜6.5$。
【答案】
$0 ＜ m ＜ 6.5$
【知识点】
一次函数平移规律，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【点评】
本题综合考查一次函数与圆的相关知识，解题核心是把握直线与圆相交的距离条件，需熟练运用平移规律、点到直线距离公式，逻辑严谨，注重细节。
【难度系数】
0.4
1. 求原直线解析式：将点$(12,-5)$代入$y=kx$，得$-5=12k$，解得$k=-\frac{5}{12}$，故原直线解析式为$y=-\frac{5}{12}x$。
2. 确定平移后直线解析式：根据一次函数平移规律“上加下减”，将直线向上平移$m(m＞0)$个单位后，解析式为$y=-\frac{5}{12}x + m$，整理为标准式$5x + 12y - 12m = 0$。
3. 利用直线与圆相交的条件分析：$\odot O$以原点为圆心、半径为6，直线与圆相交时，圆心到直线的距离$d$小于半径。根据点到直线的距离公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入圆心$(0,0)$及直线$5x + 12y - 12m = 0$，得$d=\frac{| -12m |}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{12m}{13}$。
4. 列不等式求解：由$d＜6$，即$\frac{12m}{13}＜6$，解得$m＜6.5$。结合$m＞0$，可得$m$的取值范围为$0＜m＜6.5$。
【答案】
$0 ＜ m ＜ 6.5$
【知识点】
一次函数平移规律，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【点评】
本题综合考查一次函数与圆的相关知识，解题核心是把握直线与圆相交的距离条件，需熟练运用平移规律、点到直线距离公式，逻辑严谨，注重细节。
【难度系数】
0.4
14. 如图，菱形$ABCD$的边长为$2\ \mathrm{cm}$，$∠ DAB = 60°$。点$P$从点$A$出发，以$\sqrt{3}\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AC$向点$C$做匀速运动。与此同时，点$Q$也从点$A$出发，以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AB$做匀速运动。当点$P$运动到点$C$时，点$P$，$Q$都停止运动。设点$P$运动的时间为$t(\mathrm{s})$。以点$P$为圆心，$PQ$长为半径作圆，若$\odot P$与边$BC$有1个公共点，求$t$的取值范围。
答案
14. $t = 4\sqrt{3} - 6$或$1 ＜ t ≤ 3 - \sqrt{3}$或$t = 2$
解析
【解析】
1. 分析菱形性质：
菱形$ABCD$边长为$2\ \mathrm{cm}$，$∠ DAB=60°$，则$△ ABD$为等边三角形，对角线$AC=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=∠ ACB=30°$，点$P$运动时间$t$的范围为$0≤ t≤2$。
2. 计算$PQ$的长度：
$AP=\sqrt{3}t$，$AQ=t$，在$△ APQ$中，由余弦定理：
$PQ^2=AP^2+AQ^2-2· AP· AQ·\cos30°=3t^2+t^2-2·\sqrt{3}t· t·\frac{\sqrt{3}}{2}=t^2$，故$PQ=t$，即$\odot P$半径为$t$。
3. 分情况讨论$\odot P$与边$BC$的位置关系：
① $\odot P$与$BC$相切时：
过$P$作$PH⊥ BC$于$H$，则$PH=t$。
$PC=AC-AP=2\sqrt{3}-\sqrt{3}t=\sqrt{3}(2-t)$，
在$Rt△ PHC$中，$PH=PC·\sin30°=\frac{\sqrt{3}(2-t)}{2}$，
令$\frac{\sqrt{3}(2-t)}{2}=t$，解得$t=4\sqrt{3}-6$（符合$0＜t＜2$）。
② $\odot P$经过点$B$时：
$PB=PQ=t$，在$△ APB$中，由余弦定理：
$PB^2=AP^2+AB^2-2· AP· AB·\cos30°$，
即$t^2=3t^2+4-6t$，整理得$2t^2-6t+4=0$，解得$t=1$或$t=2$。
当$t=1$时，$\odot P$与$BC$有$2$个公共点；当$1＜t≤3-\sqrt{3}$时，$\odot P$与$BC$仅有$1$个公共点；
当$t=3-\sqrt{3}$时，$PC=t$，$\odot P$经过点$C$，此时$\odot P$与$BC$有$1$个公共点；
当$3-\sqrt{3}＜t＜2$时，$\odot P$与$BC$有$2$个公共点。
③ 当$t=2$时：
点$P$到达$C$，点$Q$到达$B$，$\odot P$（即$\odot C$）半径为$2$，与边$BC$的公共点仅为$B$，符合题意。
综上，$t$的取值范围是$t=4\sqrt{3}-6$或$1＜t≤3-\sqrt{3}$或$t=2$。
【答案】
$t = 4\sqrt{3} - 6$或$1 ＜ t ≤ 3 - \sqrt{3}$或$t = 2$
【知识点】
菱形的性质；直线与圆的位置关系；余弦定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质、直线与圆的位置关系及解三角形，需分类讨论相切、经过端点等多种情况，对分类讨论能力和几何计算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
1. 分析菱形性质：
菱形$ABCD$边长为$2\ \mathrm{cm}$，$∠ DAB=60°$，则$△ ABD$为等边三角形，对角线$AC=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=∠ ACB=30°$，点$P$运动时间$t$的范围为$0≤ t≤2$。
2. 计算$PQ$的长度：
$AP=\sqrt{3}t$，$AQ=t$，在$△ APQ$中，由余弦定理：
$PQ^2=AP^2+AQ^2-2· AP· AQ·\cos30°=3t^2+t^2-2·\sqrt{3}t· t·\frac{\sqrt{3}}{2}=t^2$，故$PQ=t$，即$\odot P$半径为$t$。
3. 分情况讨论$\odot P$与边$BC$的位置关系：
① $\odot P$与$BC$相切时：
过$P$作$PH⊥ BC$于$H$，则$PH=t$。
$PC=AC-AP=2\sqrt{3}-\sqrt{3}t=\sqrt{3}(2-t)$，
在$Rt△ PHC$中，$PH=PC·\sin30°=\frac{\sqrt{3}(2-t)}{2}$，
令$\frac{\sqrt{3}(2-t)}{2}=t$，解得$t=4\sqrt{3}-6$（符合$0＜t＜2$）。
② $\odot P$经过点$B$时：
$PB=PQ=t$，在$△ APB$中，由余弦定理：
$PB^2=AP^2+AB^2-2· AP· AB·\cos30°$，
即$t^2=3t^2+4-6t$，整理得$2t^2-6t+4=0$，解得$t=1$或$t=2$。
当$t=1$时，$\odot P$与$BC$有$2$个公共点；当$1＜t≤3-\sqrt{3}$时，$\odot P$与$BC$仅有$1$个公共点；
当$t=3-\sqrt{3}$时，$PC=t$，$\odot P$经过点$C$，此时$\odot P$与$BC$有$1$个公共点；
当$3-\sqrt{3}＜t＜2$时，$\odot P$与$BC$有$2$个公共点。
③ 当$t=2$时：
点$P$到达$C$，点$Q$到达$B$，$\odot P$（即$\odot C$）半径为$2$，与边$BC$的公共点仅为$B$，符合题意。
综上，$t$的取值范围是$t=4\sqrt{3}-6$或$1＜t≤3-\sqrt{3}$或$t=2$。
【答案】
$t = 4\sqrt{3} - 6$或$1 ＜ t ≤ 3 - \sqrt{3}$或$t = 2$
【知识点】
菱形的性质；直线与圆的位置关系；余弦定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质、直线与圆的位置关系及解三角形，需分类讨论相切、经过端点等多种情况，对分类讨论能力和几何计算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
