11. 如图，在$□ ABCD$中，$O$为$AB$上的一点，连结$OD$，$OC$，以$O$为圆心，$OB$为半径画圆，分别交$OD$，$OC$于点$P$，$Q$。若$OB = 4$，$OD = 6$，$∠ ADO = ∠ A$，$\overset{\frown}{PQ} = 2π$，判断直线$DC$与$\odot O$的位置关系，并说明理由。

11. 相离 理由略

【解析】
直线$DC$与$\odot O$的位置关系是相离，理由如下：
1. 设$∠ POQ = n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$\overset{\frown}{PQ}=2π$，$r=OB=4$代入得：
$2π=\frac{nπ × 4}{180}$，解得$n=90$，即$∠ DOC=90°$。
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// DC$，$AB=DC$，$∠ A=∠ CDO$。
3. 由$∠ ADO=∠ A$，得$AO=OD=6$，则$AB=AO+OB=6+4=10$，故$DC=10$。
4. 过$O$作$OH⊥ DC$于$H$，在$\mathrm{Rt}△ DOC$中，由勾股定理得$OC=\sqrt{DC^2-OD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
5. 利用$\mathrm{Rt}△ DOC$的面积公式：$\frac{1}{2}× OD× OC=\frac{1}{2}× DC× OH$，代入数据得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OH$，解得$OH=4.8$。
6. 因为$\odot O$的半径为$4$，且$4.8＞4$，即圆心$O$到直线$DC$的距离大于半径，所以直线$DC$与$\odot O$相离。
【答案】
相离
【知识点】
平行四边形的性质，弧长公式，直线与圆的位置关系
【点评】
本题综合运用平行四边形的性质、弧长公式及直线与圆的位置关系判定定理，解题关键是通过弧长求出圆心角，再用面积法计算圆心到直线的距离，进而判断位置关系。
【难度系数】
0.6

12. 如图，有两条公路$OM$，$ON$相交成$30°$角，沿公路$OM$方向离$O$点$80\ \mathrm{m}$处有一所学校$A$，当重型运输卡车$P$沿道路$ON$方向行驶时，在以$P$为圆心，$50\ \mathrm{m}$长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车$P$与学校$A$的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车$P$沿道路$ON$方向行驶的速度为$18\ \mathrm{km/h}$。
（1）求对学校$A$的噪声影响最大时，卡车$P$与学校$A$的距离；
（2）求卡车$P$沿道路$ON$方向行驶一次给学校$A$带来噪声影响的时间。

12. 40 m 12 s

【解析】
（1）过点$A$作$AQ⊥ ON$于点$Q$，
因为$∠ MON=30°$，$OA=80\ \mathrm{m}$，
所以$AQ=OA·\sin30°=80×\frac{1}{2}=40\ \mathrm{m}$，
即对学校$A$的噪声影响最大时，卡车$P$与学校$A$的距离为$40\ \mathrm{m}$。
（2）以$A$为圆心，$50\ \mathrm{m}$为半径作圆，交$ON$于$P_1$、$P_2$两点，连接$AP_1$、$AP_2$，
在$\mathrm{Rt}△ AQP_1$中，$P_1Q=\sqrt{AP_1^2-AQ^2}=\sqrt{50^2-40^2}=30\ \mathrm{m}$，
所以$P_1P_2=2P_1Q=60\ \mathrm{m}$，
已知卡车速度$v=18\ \mathrm{km/h}=5\ \mathrm{m/s}$，
则噪声影响时间$t=\frac{P_1P_2}{v}=\frac{60}{5}=12\ \mathrm{s}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{40\ \mathrm{m}}$；（2）$\boldsymbol{12\ \mathrm{s}}$
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，行程公式
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，关键是利用垂线段最短确定噪声影响最大的位置，结合勾股定理计算受影响路段长度，再结合速度公式求解时间，体现了数学建模思想。
【难度系数】
0.6