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1. 下列直线中一定是圆的切线的是(
A.与圆有公共点的直线
B.过半径外端的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆的直径端点且垂直于这条直径的直线
D
)A.与圆有公共点的直线
B.过半径外端的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆的直径端点且垂直于这条直径的直线
答案
1. D
解析
【解析】
根据圆的切线的定义和判定定理逐一分析选项：
A. 与圆有公共点的直线可能是切线（一个公共点），也可能是割线（两个公共点），不一定是切线；
B. 过半径外端的直线，若不垂直于该半径，则不是切线，不一定是切线；
C. 垂直于圆的半径的直线，若不过半径外端，则不是切线，不一定是切线；
D. 过圆的直径端点且垂直于这条直径的直线，满足切线判定定理（经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线），一定是圆的切线。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线判定
【点评】
本题考查圆的切线的判定，需准确把握切线判定的两个核心条件：经过半径外端且垂直于该半径，避免因遗漏条件而误判。
【难度系数】
0.6
根据圆的切线的定义和判定定理逐一分析选项：
A. 与圆有公共点的直线可能是切线（一个公共点），也可能是割线（两个公共点），不一定是切线；
B. 过半径外端的直线，若不垂直于该半径，则不是切线，不一定是切线；
C. 垂直于圆的半径的直线，若不过半径外端，则不是切线，不一定是切线；
D. 过圆的直径端点且垂直于这条直径的直线，满足切线判定定理（经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线），一定是圆的切线。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线判定
【点评】
本题考查圆的切线的判定，需准确把握切线判定的两个核心条件：经过半径外端且垂直于该半径，避免因遗漏条件而误判。
【难度系数】
0.6
2. 如图，$AB$为$\odot O$直径，圆周角$∠ ABC = 40°$，当$∠ BCD=$
50°
时，$CD$为$\odot O$的切线.答案
2. 50°
解析
【解析】
连接$OC$，
因为$OC=OB$，所以$∠ OCB=∠ ABC=40°$，
因为$CD$为$\odot O$的切线，所以$OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
则$∠ BCD=∠ OCD-∠ OCB=90°-40°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查切线性质与等腰三角形性质的综合运用，解题关键是通过连接$OC$构造直角三角形，利用角度间的数量关系求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
连接$OC$，
因为$OC=OB$，所以$∠ OCB=∠ ABC=40°$，
因为$CD$为$\odot O$的切线，所以$OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
则$∠ BCD=∠ OCD-∠ OCB=90°-40°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查切线性质与等腰三角形性质的综合运用，解题关键是通过连接$OC$构造直角三角形，利用角度间的数量关系求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点$A$，$B$，$D$在$\odot O$上，$∠ A = 25°$，$OD$的延长线交直线$BC$于点$C$，且$∠ OCB = 40°$，则直线$BC$与$\odot O$的位置关系为
相切
.答案
3. 相切
解析
【解析】
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠BOD=2∠A=2×25°=50°$。
在$△ OBC$中，已知$∠OCB=40°$，$∠BOD=50°$，由三角形内角和为$180°$，可得$∠OBC=180°-∠BOD-∠OCB=180°-50°-40°=90°$，即$OB⊥BC$。
因为$OB$是$\odot O$的半径，且$OB⊥BC$，根据切线的判定定理，可知直线$BC$与$\odot O$的位置关系为相切。
【答案】
相切
【知识点】
圆周角定理、切线的判定定理
【点评】
本题主要考查圆周角定理与切线判定定理的综合应用，通过圆周角与圆心角的关系求出相关角度，进而推导出半径与直线的垂直关系，是判定切线的典型思路。
【难度系数】
0.6
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠BOD=2∠A=2×25°=50°$。
在$△ OBC$中，已知$∠OCB=40°$，$∠BOD=50°$，由三角形内角和为$180°$，可得$∠OBC=180°-∠BOD-∠OCB=180°-50°-40°=90°$，即$OB⊥BC$。
因为$OB$是$\odot O$的半径，且$OB⊥BC$，根据切线的判定定理，可知直线$BC$与$\odot O$的位置关系为相切。
【答案】
相切
【知识点】
圆周角定理、切线的判定定理
【点评】
本题主要考查圆周角定理与切线判定定理的综合应用，通过圆周角与圆心角的关系求出相关角度，进而推导出半径与直线的垂直关系，是判定切线的典型思路。
【难度系数】
0.6
4. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AC$是$\odot O$的直径，点$D$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，过点$D$作直线$BC$的垂线，分别交$CB$，$CA$的延长线于$E$，$F$两点. 若$EF = 8$，$EC = 6$，则$\odot O$的半径是
$\frac{15}{4}$
.答案
4. $\frac{15}{4}$
解析
【解析】
1. 在$Rt△ CEF$中，$∠ E=90°$，$EF=8$，$EC=6$，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{EC^2+EF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 连接$OD$，因为点$D$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，$AC$是$\odot O$的直径，根据垂径定理推论，$OD⊥ AB$。
3. 因为$AC$是$\odot O$的直径，所以$∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角是直角），又$DE⊥ BC$，故$AB// EF$，从而$OD⊥ EF$，即$∠ ODF=90°$。
4. 因为$∠ F=∠ F$，$∠ ODF=∠ E=90°$，所以$△ ODF∼△ CEF$（AA相似判定）。
5. 设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OF=FC - OC=10 - r$。根据相似三角形的性质：
$\frac{OD}{EC}=\frac{OF}{FC}$，即$\frac{r}{6}=\frac{10 - r}{10}$。
6. 解方程：$10r=6(10 - r)$，$10r=60 - 6r$，$16r=60$，得$r=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形判定与性质、垂径定理推论
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似比建立方程求解半径。
【难度系数】
0.6
1. 在$Rt△ CEF$中，$∠ E=90°$，$EF=8$，$EC=6$，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{EC^2+EF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 连接$OD$，因为点$D$是劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，$AC$是$\odot O$的直径，根据垂径定理推论，$OD⊥ AB$。
3. 因为$AC$是$\odot O$的直径，所以$∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角是直角），又$DE⊥ BC$，故$AB// EF$，从而$OD⊥ EF$，即$∠ ODF=90°$。
4. 因为$∠ F=∠ F$，$∠ ODF=∠ E=90°$，所以$△ ODF∼△ CEF$（AA相似判定）。
5. 设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OF=FC - OC=10 - r$。根据相似三角形的性质：
$\frac{OD}{EC}=\frac{OF}{FC}$，即$\frac{r}{6}=\frac{10 - r}{10}$。
6. 解方程：$10r=6(10 - r)$，$10r=60 - 6r$，$16r=60$，得$r=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形判定与性质、垂径定理推论
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似比建立方程求解半径。
【难度系数】
0.6
