5. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，点$O$在边$AB$上，$\odot O$过点$B$且与边$AB$相交于另一点$D$，与$BC$相交于点$E$，$EF⊥ AC$，垂足为$F$，求证：直线$EF$是$\odot O$的切线.

证明：
连接OE。
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ OB = OE，
∴ ∠B = ∠OEB。
∴ ∠OEB = ∠C，
∴ OE // AC。
∵ EF ⊥ AC，
∴ EF ⊥ OE。
∵ OE是⊙O的半径，
∴ 直线EF是⊙O的切线。

【解析】
连接OE。
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ OB = OE，
∴ ∠B = ∠OEB。
∴ ∠OEB = ∠C，
∴ OE // AC。
∵ EF ⊥ AC，
∴ EF ⊥ OE。
∵ OE是$\odot O$的半径，
∴ 直线EF是$\odot O$的切线。
【答案】
直线EF是$\odot O$的切线
【知识点】
等腰三角形性质、平行线判定与性质、切线的判定定理
【点评】
本题主要考查切线的判定，解题关键是连接辅助线OE，利用等腰三角形的性质推导线段平行关系，结合已知垂直条件得到半径与EF垂直，最终依据切线判定定理完成证明。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC = 90°$，以$AB$为直径的$\odot O$与$AC$交于点$D$，$E$是$BC$的中点，连结$BD$，$DE$.
（1）若$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}$，求$\sin C$的值；
（2）求证：$DE$是$\odot O$的切线.

6. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 略

【解析】
（1）
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，
∵$∠ ABC=90°$，$∠ A+∠ ABD=90°$，$∠ A+∠ C=90°$，
∴$∠ C=∠ ABD$，
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin∠ ABD=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\sin C=\sin∠ ABD=\frac{1}{3}$；
（2）连接$OD$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，则$∠ BDC=90°$，
∵E是BC的中点，
∴$DE=BE=CE$，
∴$∠ EDB=∠ EBD$，
∵$OD=OB$，
∴$∠ ODB=∠ OBD$，
∵$∠ ABC=90°$，即$∠ OBD+∠ EBD=90°$，
∴$∠ ODB+∠ EDB=90°$，即$∠ ODE=90°$，
∵OD是$\odot O$的半径，
∴$DE$是$\odot O$的切线。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；（2）证明如上
【知识点】
圆周角定理，锐角三角函数定义，切线的判定定理
【点评】
本题综合考查圆与三角形的相关性质，第一问利用等角的三角函数值相等简化计算，第二问通过直角三角形斜边中线性质与等腰三角形性质，证明半径与直线垂直，进而判定切线，需要灵活运用几何性质解题。
【难度系数】
0.6

7. 如图，$AB$是半圆$O$的直径，点$C$在半圆上(不与点$A$，$B$重合)，$DE⊥ AB$于点$D$，交$BC$于点$F$，则下列条件中能判定$CE$是半圆$O$的切线的是()

A.$∠ E=∠ CFE$
B.$∠ E=∠ ECF$
C.$∠ ECF=∠ EFC$
D.$∠ ECF = 60°$

7. C

【解析】
连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠OBC+∠BFD=90°，
又
∵∠BFD=∠EFC，
∴∠OBC+∠EFC=90°，
若∠ECF=∠EFC，则∠OCB+∠ECF=∠OBC+∠EFC=90°，即∠OCE=90°，
∵OC是半圆O的半径，且OC⊥CE，
∴CE是半圆O的切线。
对其他选项分析：
A.∠E=∠CFE，无法推出∠OCE=90°，不能判定CE是切线；
B.∠E=∠ECF，无法推出∠OCE=90°，不能判定CE是切线；
D.∠ECF=60°，无法推出∠OCE=90°，不能判定CE是切线。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的判定定理、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题主要考查切线的判定，解题关键是通过等腰三角形和直角三角形的性质进行角的等量转化，证明半径与直线垂直，从而判定切线。
【难度系数】
0.6