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【例2】如图所示的是一个长为 $ a $、宽为 $ b $ 的长方形,两个涂色部分的图形都是底边长为 $ 2 $,且底边在长方形对边上的平行四边形。
(1) 用含 $ a $,$ b $ 的式子表示长方形中空白部分的面积；
(2) 当 $ a = 8 $,$ b = 6 $ 时,求长方形中空白部分的面积。
(1) 用含 $ a $,$ b $ 的式子表示长方形中空白部分的面积；
(2) 当 $ a = 8 $,$ b = 6 $ 时,求长方形中空白部分的面积。
答案
解:
(1)$ab-2a-2b+2×2=ab-2a-2b+4$,即长方形中空白部分的面积为$ab-2a-2b+4$.
(2)当$a=8,b=6$时,$ab-2a-2b+4=8×6-2×8-2×6+4=48-16-12+4=24$,即长方形中空白部分的面积为24.
(1)$ab-2a-2b+2×2=ab-2a-2b+4$,即长方形中空白部分的面积为$ab-2a-2b+4$.
(2)当$a=8,b=6$时,$ab-2a-2b+4=8×6-2×8-2×6+4=48-16-12+4=24$,即长方形中空白部分的面积为24.
解析
【分析】
要求空白部分的面积，可采用“总面积减去阴影部分面积”的思路求解：首先先计算长方形的总面积，再计算两个阴影平行四边形的面积，注意两个平行四边形存在重叠区域，减去两个阴影面积时重叠部分被重复减去了1次，因此需要加回重叠部分的面积，即可得到空白面积；第二问只需将a、b的数值代入第一问得到的代数式，按四则运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 长方形的总面积为 $ ab $；
两个涂色平行四边形的面积分别为 $ 2a $ 和 $ 2b $，二者重叠部分是底为2、高为2的平行四边形，面积为 $ 2×2=4 $；
因此空白部分面积 = 长方形面积 - 两个平行四边形面积 + 重复减去的重叠部分面积，即：
$ S_{\mathrm{空白}}=ab-2a-2b+4 $
(2) 当 $ a=8 $，$ b=6 $ 时，将数值代入上述代数式：
$ ab-2a-2b+4=8×6-2×8-2×6+4=48-16-12+4=24 $
【答案】
(1) $ ab-2a-2b+4 $
(2) $ 24 $
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的常见题型，解题的关键是注意两个阴影平行四边形的重叠部分，避免因重复扣除重叠面积导致计算错误，代入求值时按运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.7
要求空白部分的面积，可采用“总面积减去阴影部分面积”的思路求解：首先先计算长方形的总面积，再计算两个阴影平行四边形的面积，注意两个平行四边形存在重叠区域，减去两个阴影面积时重叠部分被重复减去了1次，因此需要加回重叠部分的面积，即可得到空白面积；第二问只需将a、b的数值代入第一问得到的代数式，按四则运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 长方形的总面积为 $ ab $；
两个涂色平行四边形的面积分别为 $ 2a $ 和 $ 2b $，二者重叠部分是底为2、高为2的平行四边形，面积为 $ 2×2=4 $；
因此空白部分面积 = 长方形面积 - 两个平行四边形面积 + 重复减去的重叠部分面积，即：
$ S_{\mathrm{空白}}=ab-2a-2b+4 $
(2) 当 $ a=8 $，$ b=6 $ 时，将数值代入上述代数式：
$ ab-2a-2b+4=8×6-2×8-2×6+4=48-16-12+4=24 $
【答案】
(1) $ ab-2a-2b+4 $
(2) $ 24 $
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的常见题型，解题的关键是注意两个阴影平行四边形的重叠部分，避免因重复扣除重叠面积导致计算错误，代入求值时按运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示,四边形 $ ABCD $ 是长方形,用代数式表示图中阴影部分的面积为____。
答案
$\frac{3b}{2}+\frac{3(a-b)}{2}$
解析
【分析】
计算阴影部分面积时，可将不规则的阴影部分拆分为两个规则三角形分别计算面积，再相加求和。第一步先找到左边三角形的底和高，用三角形面积公式算出其面积；第二步找到右边三角形的底和高，算出其面积；最后将两部分面积相加即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
观察图形可知，阴影部分可分为两个三角形：
1. 左侧三角形：底为$AB=b$，高等于长方形的宽3，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得其面积为$\frac{1}{2} × b × 3 = \frac{3b}{2}$；
2. 右侧三角形：底为$BC=3$，底对应的高为水平方向长度$a-b$，同理可得其面积为$\frac{1}{2} × 3 × (a-b) = \frac{3(a-b)}{2}$；
因此阴影部分的总面积为两部分面积之和，即$\frac{3b}{2}+\frac{3(a-b)}{2}$。
【答案】
$\frac{3b}{2}+\frac{3(a-b)}{2}$
【知识点】
三角形面积计算，列代数式，组合图形面积求解
【点评】
本题的核心是将不规则的组合图形拆分为熟悉的规则图形来计算面积，熟练掌握三角形面积公式，准确找到各部分对应的底和高是解题的关键。
【难度系数】
0.7
计算阴影部分面积时，可将不规则的阴影部分拆分为两个规则三角形分别计算面积，再相加求和。第一步先找到左边三角形的底和高，用三角形面积公式算出其面积；第二步找到右边三角形的底和高，算出其面积；最后将两部分面积相加即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
观察图形可知，阴影部分可分为两个三角形：
1. 左侧三角形：底为$AB=b$，高等于长方形的宽3，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得其面积为$\frac{1}{2} × b × 3 = \frac{3b}{2}$；
2. 右侧三角形：底为$BC=3$，底对应的高为水平方向长度$a-b$，同理可得其面积为$\frac{1}{2} × 3 × (a-b) = \frac{3(a-b)}{2}$；
因此阴影部分的总面积为两部分面积之和，即$\frac{3b}{2}+\frac{3(a-b)}{2}$。
【答案】
$\frac{3b}{2}+\frac{3(a-b)}{2}$
【知识点】
三角形面积计算，列代数式，组合图形面积求解
【点评】
本题的核心是将不规则的组合图形拆分为熟悉的规则图形来计算面积，熟练掌握三角形面积公式，准确找到各部分对应的底和高是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 一个圆柱的底面圆的半径为 $ r $,高为 $ h $,用代数式表示它的体积 $ V = $____；当 $ r = 2 $ cm,$ h = 6 $ cm 时,这个圆柱的体积 $ V = $____ $ cm^3 $($ \pi $ 取 $ 3.14 $)。
答案
$3.14r^{2}h$ 75.36
解析
【分析】
解题首先回忆圆柱体积的计算方法：圆柱体积等于底面积乘高，底面积是半径为r的圆的面积，即$πr²$，题目明确π取3.14，因此可以直接写出体积的代数式；求具体体积时，把r和h的取值代入代数式，按照先算乘方、再算乘法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导体积代数式：
圆柱的体积 = 底面积 × 高，其中底面积$S=πr²$，已知π取3.14，高为h，因此体积$V=3.14r²h$。
2. 代入数值计算：
当$r=2\mathrm{cm}$，$h=6\mathrm{cm}$时，将数值代入代数式：
$\begin{aligned}V&=3.14× 2²× 6\\&=3.14×4×6\\&=12.56×6\\&=75.36(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
$3.14r^{2}h$；$75.36$
【知识点】
圆柱体积公式；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查公式的记忆与代数式的代入计算，解题时注意运算顺序，先计算乘方再计算乘法即可避免出错。
【难度系数】
0.9
解题首先回忆圆柱体积的计算方法：圆柱体积等于底面积乘高，底面积是半径为r的圆的面积，即$πr²$，题目明确π取3.14，因此可以直接写出体积的代数式；求具体体积时，把r和h的取值代入代数式，按照先算乘方、再算乘法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导体积代数式：
圆柱的体积 = 底面积 × 高，其中底面积$S=πr²$，已知π取3.14，高为h，因此体积$V=3.14r²h$。
2. 代入数值计算：
当$r=2\mathrm{cm}$，$h=6\mathrm{cm}$时，将数值代入代数式：
$\begin{aligned}V&=3.14× 2²× 6\\&=3.14×4×6\\&=12.56×6\\&=75.36(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
$3.14r^{2}h$；$75.36$
【知识点】
圆柱体积公式；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查公式的记忆与代数式的代入计算，解题时注意运算顺序，先计算乘方再计算乘法即可避免出错。
【难度系数】
0.9
1. 有长为 $ L $ 的篱笆,利用它和房屋的一面墙围成如图所示的长方形园子,园子的宽为 $ t $,则所围成的园子面积为 ( )
A.$ \left( L - \frac{t}{2} \right) t $
B.$ (L - t)t $
C.$ \left( \frac{L}{2} - t \right) t $
D.$ (L - 2t)t $
A.$ \left( L - \frac{t}{2} \right) t $
B.$ (L - t)t $
C.$ \left( \frac{L}{2} - t \right) t $
D.$ (L - 2t)t $
答案
D
解析
【分析】
要计算园子的面积，首先回忆长方形面积公式为“长×宽”，题中已经给出宽为t，因此只需先求出园子的长即可。观察图形可知，篱笆仅需围长方形的2条宽和1条长（另一条长借助房屋墙面），总篱笆长为L，因此用篱笆总长减去2条宽的长度就能得到园子的长，再代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
已知园子的宽为t，篱笆总长为L，篱笆需要围2条宽和1条平行于墙的长，因此园子的长为：$ L - 2t $。
根据长方形面积公式：$ \mathrm{面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，代入长和宽的数值可得：
园子面积 = $ (L - 2t) × t = (L - 2t)t $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查代数式的应用，解题核心是结合图形准确判断篱笆所围的边数，正确表示出长方形的长，易错点是误将篱笆所围的边数判断错误，导致长的表达式出错。
【难度系数】
0.8
要计算园子的面积，首先回忆长方形面积公式为“长×宽”，题中已经给出宽为t，因此只需先求出园子的长即可。观察图形可知，篱笆仅需围长方形的2条宽和1条长（另一条长借助房屋墙面），总篱笆长为L，因此用篱笆总长减去2条宽的长度就能得到园子的长，再代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
已知园子的宽为t，篱笆总长为L，篱笆需要围2条宽和1条平行于墙的长，因此园子的长为：$ L - 2t $。
根据长方形面积公式：$ \mathrm{面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，代入长和宽的数值可得：
园子面积 = $ (L - 2t) × t = (L - 2t)t $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查代数式的应用，解题核心是结合图形准确判断篱笆所围的边数，正确表示出长方形的长，易错点是误将篱笆所围的边数判断错误，导致长的表达式出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示,假设圆锥的高是 $ 6 $ cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积随着底面半径的变化而变化(圆锥的体积公式：$ V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h $,其中 $ r $ 表示底面半径,$ h $ 表示圆锥的高)。
(1) 如果圆锥底面半径为 $ r $ cm,那么圆锥的体积 $ V $ $ cm^3 $ 可以表示为____(用含 $ r $ 的式子表示)；
(2) 当 $ r $ 由 $ 1 $ cm 变化到 $ 10 $ cm 时,$ V $ 由____变化到____。
(1) 如果圆锥底面半径为 $ r $ cm,那么圆锥的体积 $ V $ $ cm^3 $ 可以表示为____(用含 $ r $ 的式子表示)；
(2) 当 $ r $ 由 $ 1 $ cm 变化到 $ 10 $ cm 时,$ V $ 由____变化到____。
答案
1. （1）
已知圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，$h = 6$cm。
把$h = 6$代入公式得：$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}×6$。
化简$V = 2\pi r^{2}$。
2. （2）
当$r = 1$cm 时：
把$r = 1$代入$V = 2\pi r^{2}$，根据$V=2\pi r^{2}$，则$V_1=2\pi×1^{2}=2\pi$ $cm^{3}$。
当$r = 10$cm 时：
把$r = 10$代入$V = 2\pi r^{2}$，则$V_2=2\pi×10^{2}=200\pi$ $cm^{3}$。
故答案依次为：（1）$V = 2\pi r^{2}$；（2）$2\pi$ $cm^{3}$；$200\pi$ $cm^{3}$。
已知圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，$h = 6$cm。
把$h = 6$代入公式得：$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}×6$。
化简$V = 2\pi r^{2}$。
2. （2）
当$r = 1$cm 时：
把$r = 1$代入$V = 2\pi r^{2}$，根据$V=2\pi r^{2}$，则$V_1=2\pi×1^{2}=2\pi$ $cm^{3}$。
当$r = 10$cm 时：
把$r = 10$代入$V = 2\pi r^{2}$，则$V_2=2\pi×10^{2}=200\pi$ $cm^{3}$。
故答案依次为：（1）$V = 2\pi r^{2}$；（2）$2\pi$ $cm^{3}$；$200\pi$ $cm^{3}$。
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：圆锥高固定为6cm，给出了圆锥体积公式。第一问只需将高的数值代入体积公式，化简后就能得到体积V关于底面半径r的表达式；第二问属于代数式求值问题，分别把r=1cm和r=10cm代入第一问得到的表达式，按照先算乘方、再算乘法的运算顺序计算，就能得到对应体积，明确体积的变化范围。
【解析】
（1）已知圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，题中给出圆锥的高$h=6\mathrm{cm}$，将$h=6$代入公式：
$V=\frac{1}{3}π r^2 × 6$
化简后可得：$V=2π r^2$
（2）当$r=1\mathrm{cm}$时，把$r=1$代入$V=2π r^2$计算：
$V=2π × 1^2=2π \ (\mathrm{cm^3})$
当$r=10\mathrm{cm}$时，把$r=10$代入$V=2π r^2$计算：
$V=2π × 10^2=2π × 100=200π \ (\mathrm{cm^3})$
【答案】
（1）$V=2π r^2$；（2）$2π\ \mathrm{cm^3}$；$200π\ \mathrm{cm^3}$
【知识点】
列代数式；代数式求值；圆锥体积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查结合几何公式用代数式表示变量关系，以及代入法求代数式的值，计算时注意运算顺序即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：圆锥高固定为6cm，给出了圆锥体积公式。第一问只需将高的数值代入体积公式，化简后就能得到体积V关于底面半径r的表达式；第二问属于代数式求值问题，分别把r=1cm和r=10cm代入第一问得到的表达式，按照先算乘方、再算乘法的运算顺序计算，就能得到对应体积，明确体积的变化范围。
【解析】
（1）已知圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，题中给出圆锥的高$h=6\mathrm{cm}$，将$h=6$代入公式：
$V=\frac{1}{3}π r^2 × 6$
化简后可得：$V=2π r^2$
（2）当$r=1\mathrm{cm}$时，把$r=1$代入$V=2π r^2$计算：
$V=2π × 1^2=2π \ (\mathrm{cm^3})$
当$r=10\mathrm{cm}$时，把$r=10$代入$V=2π r^2$计算：
$V=2π × 10^2=2π × 100=200π \ (\mathrm{cm^3})$
【答案】
（1）$V=2π r^2$；（2）$2π\ \mathrm{cm^3}$；$200π\ \mathrm{cm^3}$
【知识点】
列代数式；代数式求值；圆锥体积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查结合几何公式用代数式表示变量关系，以及代入法求代数式的值，计算时注意运算顺序即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
