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常用图形的基本公式
(1) 若正方形的边长为 $ a $,则它的面积 $ S = $____,周长 $ C = $____；
(2) 若长方形的长为 $ a $,宽为 $ b $,则它的面积 $ S = $____,周长 $ C = $____；
(3) 若直角三角形的一直角边长为 $ a $,另一直角边长为 $ b $,则它的面积 $ S = \frac{1}{2} $____；
(4) 若 $ a $,$ b $,$ h $ 分别表示一个梯形上底、下底和高,则这个梯形的面积 $ S = $____；
(5) 若用 $ a $,$ b $,$ c $ 分别表示一个长方体纸箱的长、宽、高,则这个长方体的体积 $ V = $____；
(6) 若圆柱的底面半径为 $ r $,高为 $ h $,则它的体积 $ V = $____。
(1) 若正方形的边长为 $ a $,则它的面积 $ S = $____,周长 $ C = $____；
(2) 若长方形的长为 $ a $,宽为 $ b $,则它的面积 $ S = $____,周长 $ C = $____；
(3) 若直角三角形的一直角边长为 $ a $,另一直角边长为 $ b $,则它的面积 $ S = \frac{1}{2} $____；
(4) 若 $ a $,$ b $,$ h $ 分别表示一个梯形上底、下底和高,则这个梯形的面积 $ S = $____；
(5) 若用 $ a $,$ b $,$ c $ 分别表示一个长方体纸箱的长、宽、高,则这个长方体的体积 $ V = $____；
(6) 若圆柱的底面半径为 $ r $,高为 $ h $,则它的体积 $ V = $____。
答案
(1)$a^{2}-4a$
(2)$ab-2(a+b)$
(3)$ab$
(4)$\frac{1}{2}(a+b)h$
(5)$abc$
(6)$\pi r^{2}h$
解析
【分析】
本题考查常见几何图形的周长、面积及几何体体积的基础公式，解题时只需逐一对应各小问的图形类型，回忆对应的公式，将题干给出的字母代入公式即可完成填空，属于基础记忆类题型，难度较低。
【解析】
(1) 正方形面积=边长×边长，已知边长为$a$，因此面积$S=a× a=a^2$；正方形周长是4条等长边长的和，因此周长$C=4× a=4a$。
(2) 长方形面积=长×宽，已知长为$a$、宽为$b$，因此面积$S=a× b=ab$；长方形周长=2×(长+宽)，因此周长$C=2(a+b)$。
(3) 直角三角形面积=$\frac{1}{2}$×直角边×另一直角边，已知两条直角边长为$a$、$b$，题干已给出系数$\frac{1}{2}$，因此填$ab$。
(4) 梯形面积=$\frac{1}{2}$×(上底+下底)×高，已知上底为$a$、下底为$b$、高为$h$，因此面积$S=\frac{1}{2}(a+b)h$。
(5) 长方体体积=长×宽×高，已知长为$a$、宽为$b$、高为$c$，因此体积$V=abc$。
(6) 圆柱体积=底面积×高，底面积为$π r^2$，已知底面半径为$r$、高为$h$，因此体积$V=π r^2 h$。
【答案】
(1) $a^2$，$4a$
(2) $ab$，$2(a+b)$
(3) $ab$
(4) $\frac{1}{2}(a+b)h$
(5) $abc$
(6) $π r^2 h$
【知识点】
几何图形周长公式；几何图形面积公式；几何体体积公式
【点评】
本题是基础公式考查题，侧重对基础几何公式的记忆掌握，熟练记忆各类常见图形、几何体的基础公式是解决后续几何计算类问题的前提，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查常见几何图形的周长、面积及几何体体积的基础公式，解题时只需逐一对应各小问的图形类型，回忆对应的公式，将题干给出的字母代入公式即可完成填空，属于基础记忆类题型，难度较低。
【解析】
(1) 正方形面积=边长×边长，已知边长为$a$，因此面积$S=a× a=a^2$；正方形周长是4条等长边长的和，因此周长$C=4× a=4a$。
(2) 长方形面积=长×宽，已知长为$a$、宽为$b$，因此面积$S=a× b=ab$；长方形周长=2×(长+宽)，因此周长$C=2(a+b)$。
(3) 直角三角形面积=$\frac{1}{2}$×直角边×另一直角边，已知两条直角边长为$a$、$b$，题干已给出系数$\frac{1}{2}$，因此填$ab$。
(4) 梯形面积=$\frac{1}{2}$×(上底+下底)×高，已知上底为$a$、下底为$b$、高为$h$，因此面积$S=\frac{1}{2}(a+b)h$。
(5) 长方体体积=长×宽×高，已知长为$a$、宽为$b$、高为$c$，因此体积$V=abc$。
(6) 圆柱体积=底面积×高，底面积为$π r^2$，已知底面半径为$r$、高为$h$，因此体积$V=π r^2 h$。
【答案】
(1) $a^2$，$4a$
(2) $ab$，$2(a+b)$
(3) $ab$
(4) $\frac{1}{2}(a+b)h$
(5) $abc$
(6) $π r^2 h$
【知识点】
几何图形周长公式；几何图形面积公式；几何体体积公式
【点评】
本题是基础公式考查题，侧重对基础几何公式的记忆掌握，熟练记忆各类常见图形、几何体的基础公式是解决后续几何计算类问题的前提，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
【例1】如图所示,池塘边有块长为 $ 20 $ m、宽为 $ 10 $ m 的长方形土地,现在将其余三面留出宽都是 $ x $ m 的小路,中间余下的长方形部分做菜地。
(1) 用含 $ x $ 的式子表示菜地的长、宽及周长；
(2) 当 $ x = 1 $ m 时,求菜地的周长 $ C $。
(1) 用含 $ x $ 的式子表示菜地的长、宽及周长；
(2) 当 $ x = 1 $ m 时,求菜地的周长 $ C $。
答案
解:
(1)菜地的长为$(20-2x)m$,菜地的宽为$(10-x)m$,菜地的周长为$2(20-2x+10-x)=60-6x(m)$.
(2)当$x=1$时,菜地的周长$C=60-6×1=54(m)$.
(1)菜地的长为$(20-2x)m$,菜地的宽为$(10-x)m$,菜地的周长为$2(20-2x+10-x)=60-6x(m)$.
(2)当$x=1$时,菜地的周长$C=60-6×1=54(m)$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先结合题目条件和图形分析菜地的长、宽：大长方形长20m，水平方向左右两侧都有宽为x的小路，因此菜地的长要减去2个x；大长方形宽10m，竖直方向仅一侧有宽为x的小路（另一侧靠池塘无需留路），因此菜地的宽减去1个x即可；再根据长方形周长公式，将长和宽代入化简就能得到周长的代数式。第(2)问属于代数式求值问题，直接把x=1代入第(1)问得到的周长表达式计算即可。
【解析】
(1) 先推导菜地的长：大长方形总长20m，左右两边小路各宽x m，因此菜地的长为$(20-2x)\ \mathrm{m}$；
再推导菜地的宽：大长方形总宽10m，仅1侧有宽为x m的小路，因此菜地的宽为$(10-x)\ \mathrm{m}$；
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入得：
周长$=2×[(20-2x)+(10-x)]=2×(30-3x)=(60-6x)\ \mathrm{m}$。
(2) 当$x=1\ \mathrm{m}$时，将$x=1$代入周长表达式$C=60-6x$中：
$C=60-6×1=54(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 菜地的长为$(20-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(10-x)\ \mathrm{m}$，周长为$(60-6x)\ \mathrm{m}$；
(2) 当$x=1$时，菜地的周长$C$为$54\ \mathrm{m}$。
【知识点】
列代数式、代数式求值、长方形周长计算
【点评】
本题结合实际场景考查代数式相关知识，解题核心是结合图形准确梳理各边长的数量关系，列代数式时注意不要漏算小路的数量，代入求值时运算要仔细，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，先结合题目条件和图形分析菜地的长、宽：大长方形长20m，水平方向左右两侧都有宽为x的小路，因此菜地的长要减去2个x；大长方形宽10m，竖直方向仅一侧有宽为x的小路（另一侧靠池塘无需留路），因此菜地的宽减去1个x即可；再根据长方形周长公式，将长和宽代入化简就能得到周长的代数式。第(2)问属于代数式求值问题，直接把x=1代入第(1)问得到的周长表达式计算即可。
【解析】
(1) 先推导菜地的长：大长方形总长20m，左右两边小路各宽x m，因此菜地的长为$(20-2x)\ \mathrm{m}$；
再推导菜地的宽：大长方形总宽10m，仅1侧有宽为x m的小路，因此菜地的宽为$(10-x)\ \mathrm{m}$；
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入得：
周长$=2×[(20-2x)+(10-x)]=2×(30-3x)=(60-6x)\ \mathrm{m}$。
(2) 当$x=1\ \mathrm{m}$时，将$x=1$代入周长表达式$C=60-6x$中：
$C=60-6×1=54(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 菜地的长为$(20-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(10-x)\ \mathrm{m}$，周长为$(60-6x)\ \mathrm{m}$；
(2) 当$x=1$时，菜地的周长$C$为$54\ \mathrm{m}$。
【知识点】
列代数式、代数式求值、长方形周长计算
【点评】
本题结合实际场景考查代数式相关知识，解题核心是结合图形准确梳理各边长的数量关系，列代数式时注意不要漏算小路的数量，代入求值时运算要仔细，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 如图所示,在一块长为 $ a $、宽为 $ b $ 的长方形草坪上,修两条等宽(宽度都为 $ m $)的长方形小路,则阴影部分图形的周长是 ( )
A.$ 2(a + b) + 2m $
B.$ 2(m + b) + 2(a - m) $
C.$ 2(a + b) - 4m $
D.$ 2(a + b) - 2m $
A.$ 2(a + b) + 2m $
B.$ 2(m + b) + 2(a - m) $
C.$ 2(a + b) - 4m $
D.$ 2(a + b) - 2m $
答案
B
解析
【分析】
要计算阴影十字小路的周长，可拆分两部分分析：先梳理竖直阴影小路的边长，再梳理水平阴影小路的边长，注意两条小路重叠的正方形部分属于阴影内部，对应的边长不能重复计算，也不要漏算周长有效部分。首先明确：竖直小路的左右两条边总长为2b，上下两条短边总长为2m；水平小路的上下两条边，因中间和竖直小路重叠了长度m，所以每条有效长度为a-m，两条总长度为2(a-m)，将这些有效边长相加就是总周长，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：阴影部分由竖直、水平两条等宽的长方形小路组成，分步计算有效周长：
1. 竖直小路是宽为$m$、长为$b$的长方形，其左右两条竖直边总长度为$2b$，上下两条水平短边总长度为$2m$；
2. 水平小路是宽为$m$、长为$a$的长方形，其上下两条水平边中，与竖直小路重叠的$m$长度属于阴影内部，不计入周长，因此这两条边的有效总长度为$2(a - m)$；水平小路的左右两条竖直边已经包含在竖直小路的竖直边长中，无需重复计算；
3. 总周长合并为：$2b + 2m + 2(a - m) = 2(m + b) + 2(a - m)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形周长计算、代数式列写、图形周长求解
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题，解题核心是明确周长为图形外部的边长总和，避免重复计算重叠部分的内部边长，也可先化简各选项再结合图形特征判断，能锻炼学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
要计算阴影十字小路的周长，可拆分两部分分析：先梳理竖直阴影小路的边长，再梳理水平阴影小路的边长，注意两条小路重叠的正方形部分属于阴影内部，对应的边长不能重复计算，也不要漏算周长有效部分。首先明确：竖直小路的左右两条边总长为2b，上下两条短边总长为2m；水平小路的上下两条边，因中间和竖直小路重叠了长度m，所以每条有效长度为a-m，两条总长度为2(a-m)，将这些有效边长相加就是总周长，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：阴影部分由竖直、水平两条等宽的长方形小路组成，分步计算有效周长：
1. 竖直小路是宽为$m$、长为$b$的长方形，其左右两条竖直边总长度为$2b$，上下两条水平短边总长度为$2m$；
2. 水平小路是宽为$m$、长为$a$的长方形，其上下两条水平边中，与竖直小路重叠的$m$长度属于阴影内部，不计入周长，因此这两条边的有效总长度为$2(a - m)$；水平小路的左右两条竖直边已经包含在竖直小路的竖直边长中，无需重复计算；
3. 总周长合并为：$2b + 2m + 2(a - m) = 2(m + b) + 2(a - m)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形周长计算、代数式列写、图形周长求解
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题，解题核心是明确周长为图形外部的边长总和，避免重复计算重叠部分的内部边长，也可先化简各选项再结合图形特征判断，能锻炼学生数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示,用三种大小不同的 $ 5 $ 个正方形和 $ 1 $ 个长方形(阴影部分)拼成长方形 $ ABCD $,其中 $ EF = 7 $ cm,最小的正方形的边长为 $ x $ cm。
(1) $ FG = $____ cm,$ DG = $____ cm (分别用含 $ x $ 的代数式表示)；
(2) 求长方形 $ ABCD $ 的周长(用含 $ x $ 的代数式表示),并求当 $ x = 9 $ 时,长方形 $ ABCD $ 的周长。
(1) $ FG = $____ cm,$ DG = $____ cm (分别用含 $ x $ 的代数式表示)；
(2) 求长方形 $ ABCD $ 的周长(用含 $ x $ 的代数式表示),并求当 $ x = 9 $ 时,长方形 $ ABCD $ 的周长。
答案
(1)$(x+7)$ $(3x-7)$
(2)长方形$ABCD$的宽为$(x+3x)cm$,长为$(3x+x+7)cm$,则长方形$ABCD$的周长为$2[4x+(4x+7)]cm$.当$x=9$时,$2×(4×9+4×9+7)=158$.即当$x=9$时,长方形$ABCD$的周长为158 cm.
解析
【分析】
(1) 观察图形可知，FG的长度为最小正方形边长与EF长度之和，可直接写出FG的代数式；下方3个最小正方形的总边长等于DG与EF的长度之和，变形即可得到DG的代数式。
(2) 先确定长方形ABCD的长和宽：垂直方向的宽为最小正方形边长加3倍最小正方形边长，水平方向的长为3倍最小正方形边长加FG的长度，再根据长方形周长公式列出含x的代数式，最后将x=9代入代数式计算即可得到对应周长。
【解析】
(1) 已知最小正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，$EF=7\ \mathrm{cm}$，因此$FG = x + 7 = (x+7)\ \mathrm{cm}$；
下方3个最小正方形的总长度为$3x\ \mathrm{cm}$，由图形关系可得$3x = DG + EF$，因此$DG = 3x - EF = (3x-7)\ \mathrm{cm}$。
(2) 长方形$ABCD$的宽为垂直方向的边长：$x + 3x = 4x\ (\mathrm{cm})$；
长方形$ABCD$的长为水平方向的边长：$3x + (x+7) = 4x + 7\ (\mathrm{cm})$；
根据长方形周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，可得周长为$2×[4x + (4x+7)]\ \mathrm{cm}$；
当$x=9$时，代入得周长为$2×(4×9 + 4×9 +7) = 2×79 = 158\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $(x+7)$；$(3x-7)$
(2) 长方形$ABCD$的周长为$2[4x+(4x+7)]\ \mathrm{cm}$，当$x=9$时，长方形$ABCD$的周长为$158\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
列代数式；代数式求值；长方形周长计算
【点评】
本题结合图形拼接考查代数式的应用，核心是通过观察图形梳理各边的数量关系，再结合公式列式求解，代入计算时需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图形可知，FG的长度为最小正方形边长与EF长度之和，可直接写出FG的代数式；下方3个最小正方形的总边长等于DG与EF的长度之和，变形即可得到DG的代数式。
(2) 先确定长方形ABCD的长和宽：垂直方向的宽为最小正方形边长加3倍最小正方形边长，水平方向的长为3倍最小正方形边长加FG的长度，再根据长方形周长公式列出含x的代数式，最后将x=9代入代数式计算即可得到对应周长。
【解析】
(1) 已知最小正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，$EF=7\ \mathrm{cm}$，因此$FG = x + 7 = (x+7)\ \mathrm{cm}$；
下方3个最小正方形的总长度为$3x\ \mathrm{cm}$，由图形关系可得$3x = DG + EF$，因此$DG = 3x - EF = (3x-7)\ \mathrm{cm}$。
(2) 长方形$ABCD$的宽为垂直方向的边长：$x + 3x = 4x\ (\mathrm{cm})$；
长方形$ABCD$的长为水平方向的边长：$3x + (x+7) = 4x + 7\ (\mathrm{cm})$；
根据长方形周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，可得周长为$2×[4x + (4x+7)]\ \mathrm{cm}$；
当$x=9$时，代入得周长为$2×(4×9 + 4×9 +7) = 2×79 = 158\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $(x+7)$；$(3x-7)$
(2) 长方形$ABCD$的周长为$2[4x+(4x+7)]\ \mathrm{cm}$，当$x=9$时，长方形$ABCD$的周长为$158\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
列代数式；代数式求值；长方形周长计算
【点评】
本题结合图形拼接考查代数式的应用，核心是通过观察图形梳理各边的数量关系，再结合公式列式求解，代入计算时需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
