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6. (2025·芜湖)书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好,现有一本《数学杂谈》,该书的长为$23$ $cm$,宽为$16$ $cm$,厚度为$2$ $cm$,小华用一张如图所示的长方形纸包好了这本书。在包书纸示意图中,虚线是折痕,阴影是裁掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折进去的宽度。设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为$a$ $cm$。
(1)求该包书纸的长和宽(用含$a$的代数式表示)；
(2)当$a = 1$时,求该包书纸的面积(含阴影部分)。
(1)求该包书纸的长和宽(用含$a$的代数式表示)；
(2)当$a = 1$时,求该包书纸的面积(含阴影部分)。
答案
解:
(1)该包书纸的长为16×2+2+2a=(34+2a)cm,宽为(23+2a)cm.
(2)当a=1时,34+2a=36,23+2a=25,
36×25=900($cm^{2}$).
答:当a=1时,该包书纸的面积(含阴影部分)为900 $cm^{2}$.
(1)该包书纸的长为16×2+2+2a=(34+2a)cm,宽为(23+2a)cm.
(2)当a=1时,34+2a=36,23+2a=25,
36×25=900($cm^{2}$).
答:当a=1时,该包书纸的面积(含阴影部分)为900 $cm^{2}$.
解析
【分析】
(1) 求解包书纸的长和宽，需结合包书的实际结构分析长度构成：横向来看，包书纸需要覆盖封面、封底和书的厚度，且左右两侧各有宽度为a的折边，因此长为2倍书的宽+书的厚度+2个折进宽度a；纵向来看，包书纸需要覆盖书的长，且上下两侧各有宽度为a的折边，因此宽为书的长+2个折进宽度a，据此列代数式化简即可。
(2) 求a=1时包书纸的面积，先将a=1代入第(1)问得到的长和宽的代数式，计算出长和宽的具体数值，再根据长方形面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 包书纸的长：封面和封底的总宽度为$16 × 2$，加上书的厚度2 cm，再加上左右两侧各折进的a cm，即$16 × 2 + 2 + 2a = (34 + 2a) \mathrm{cm}$；
包书纸的宽：书的长为23 cm，加上上下两侧各折进的a cm，即$23 + 2a \mathrm{cm}$。
(2) 当$a=1$时，
包书纸的长：$34 + 2 × 1 = 36 (\mathrm{cm})$，
包书纸的宽：$23 + 2 × 1 = 25 (\mathrm{cm})$，
根据长方形面积公式，面积为$36 × 25 = 900 (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 长为$(34 + 2a) \mathrm{cm}$，宽为$(23 + 2a) \mathrm{cm}$；
(2) $900 \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；长方形面积计算
【点评】
本题结合生活中包书皮的实际场景命题，解题的关键是准确梳理包书纸长、宽的组成部分，将实际问题转化为代数问题，既考查了代数式相关基础知识，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.75
(1) 求解包书纸的长和宽，需结合包书的实际结构分析长度构成：横向来看，包书纸需要覆盖封面、封底和书的厚度，且左右两侧各有宽度为a的折边，因此长为2倍书的宽+书的厚度+2个折进宽度a；纵向来看，包书纸需要覆盖书的长，且上下两侧各有宽度为a的折边，因此宽为书的长+2个折进宽度a，据此列代数式化简即可。
(2) 求a=1时包书纸的面积，先将a=1代入第(1)问得到的长和宽的代数式，计算出长和宽的具体数值，再根据长方形面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 包书纸的长：封面和封底的总宽度为$16 × 2$，加上书的厚度2 cm，再加上左右两侧各折进的a cm，即$16 × 2 + 2 + 2a = (34 + 2a) \mathrm{cm}$；
包书纸的宽：书的长为23 cm，加上上下两侧各折进的a cm，即$23 + 2a \mathrm{cm}$。
(2) 当$a=1$时，
包书纸的长：$34 + 2 × 1 = 36 (\mathrm{cm})$，
包书纸的宽：$23 + 2 × 1 = 25 (\mathrm{cm})$，
根据长方形面积公式，面积为$36 × 25 = 900 (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) 长为$(34 + 2a) \mathrm{cm}$，宽为$(23 + 2a) \mathrm{cm}$；
(2) $900 \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；长方形面积计算
【点评】
本题结合生活中包书皮的实际场景命题，解题的关键是准确梳理包书纸长、宽的组成部分，将实际问题转化为代数问题，既考查了代数式相关基础知识，也体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.75
7. 当$x = 1$时,整式$ax^{3}+bx + 1的值为2023$,则当$x = - 1$时,整式$ax^{3}+bx - 2$的值是( )
A.$2024$
B.$-2024$
C.$2022$
D.$-2022$
A.$2024$
B.$-2024$
C.$2022$
D.$-2022$
答案
B 解析:因为当x=1时,整式$ax^{3}+bx+1$的值为2023,
所以a+b+1=2023.
所以a+b=2022.
因为当x=-1时,$ax^{3}+bx-2=-a-b-2=-(a+b)-2$,a+b=2022,
所以$ax^{3}+bx-2=-(a+b)-2=-2022-2=-2024$.
所以a+b+1=2023.
所以a+b=2022.
因为当x=-1时,$ax^{3}+bx-2=-a-b-2=-(a+b)-2$,a+b=2022,
所以$ax^{3}+bx-2=-(a+b)-2=-2022-2=-2024$.
解析
【分析】
解题时先利用x=1时代数式的取值，代入后求出a+b的整体值，因为无法单独求出a、b的具体数值，所以考虑用整体代入的思想，再将x=-1代入所求整式，变形为含有a+b的形式，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
解：当x=1时，将其代入整式$ax^3+bx+1$得：
$a×1^3 + b×1 + 1 = a + b + 1 = 2023$
整理得$a + b = 2023 - 1 = 2022$。
当x=-1时，将其代入整式$ax^3+bx-2$得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) - 2 = -a - b - 2$
对式子变形可得：$-a - b - 2 = -(a + b) - 2$
将$a + b = 2022$代入上式得：
$-(2022) - 2 = -2024$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题核心是不需要求出单个字母的取值，通过整体代入思想简化计算过程，注意区分两个整式的常数项差异，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先利用x=1时代数式的取值，代入后求出a+b的整体值，因为无法单独求出a、b的具体数值，所以考虑用整体代入的思想，再将x=-1代入所求整式，变形为含有a+b的形式，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
解：当x=1时，将其代入整式$ax^3+bx+1$得：
$a×1^3 + b×1 + 1 = a + b + 1 = 2023$
整理得$a + b = 2023 - 1 = 2022$。
当x=-1时，将其代入整式$ax^3+bx-2$得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) - 2 = -a - b - 2$
对式子变形可得：$-a - b - 2 = -(a + b) - 2$
将$a + b = 2022$代入上式得：
$-(2022) - 2 = -2024$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题核心是不需要求出单个字母的取值，通过整体代入思想简化计算过程，注意区分两个整式的常数项差异，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,乒乓球拍每副定价为$30$元,乒乓球每盒定价为$10$元。现两家商店搞促销活动,甲商店的优惠方案：每卖$1副乒乓球拍赠1$盒乒乓球；乙商店的优惠方案：按定价的九折出售。某班需购买乒乓球拍$6$副,乒乓球若干盒(不少于$6$盒)。
(1)用代数式表示(所填式子不用化简)：
当购买乒乓球拍$6$副、乒乓球$x(x\geqslant6$,且$x$为整数)盒时,在甲商店购买共需付款______元,在乙商店购买共需付款______元；
(2)当购买乒乓球拍$6$副、乒乓球$15$盒时,到哪家商店购买比较省钱？说出你的理由；
(3)当购买乒乓球拍$6$副、乒乓球$15$盒时,你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案,并求出此时需付款多少元。
(1)用代数式表示(所填式子不用化简)：
当购买乒乓球拍$6$副、乒乓球$x(x\geqslant6$,且$x$为整数)盒时,在甲商店购买共需付款______元,在乙商店购买共需付款______元；
(2)当购买乒乓球拍$6$副、乒乓球$15$盒时,到哪家商店购买比较省钱？说出你的理由；
(3)当购买乒乓球拍$6$副、乒乓球$15$盒时,你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案,并求出此时需付款多少元。
答案
解:
(1)[30×6+10×(x-6)]
(30×90%×6+10×90%×x)
(2)在甲商店购买省钱.理由如下:
当x=15时,30×6+10×(15-6)=270(元),
30×90%×6+10×90%×15=297(元),
由于270＜297,
所以在甲商店购买省钱.
(3)能.先到甲商店购买6副球拍,获赠6盒球,再到乙商店购买9盒球,所需金额:
30×6+10×90%×9=261(元).
答:先到甲商店购买6副球拍,获赠6盒球,再到乙商店购买9盒球,所需金额为261元.
(1)[30×6+10×(x-6)]
(30×90%×6+10×90%×x)
(2)在甲商店购买省钱.理由如下:
当x=15时,30×6+10×(15-6)=270(元),
30×90%×6+10×90%×15=297(元),
由于270＜297,
所以在甲商店购买省钱.
(3)能.先到甲商店购买6副球拍,获赠6盒球,再到乙商店购买9盒球,所需金额:
30×6+10×90%×9=261(元).
答:先到甲商店购买6副球拍,获赠6盒球,再到乙商店购买9盒球,所需金额为261元.
解析
【分析】
（1）列两家店的付款代数式时，先理清各自优惠规则：甲店买1副球拍赠1盒球，购买6副球拍会赠送6盒乒乓球，因此仅需要为超出6盒的(x-6)盒乒乓球付费，总付款为6副球拍的总价加(x-6)盒乒乓球的总价；乙店所有商品按定价九折销售，总付款为6副球拍和x盒乒乓球的原价总和乘90%即可。
（2）判断哪家店更省钱，只需将x=15分别代入（1）中得到的两个代数式，计算出两家的实际付款金额，再比较数值大小即可得出结论。
（3）设计更省钱的方案时，结合两家优惠的优势：甲店买球拍赠球的优惠力度大于直接打折，因此先在甲店购买6副球拍，拿到赠送的6盒乒乓球，剩余需要的乒乓球到乙店购买享受九折优惠，组合购买的花费更低。
【解析】
（1）甲商店：6副球拍总价为$30×6$元，赠送6盒乒乓球，需额外付费的乒乓球为$(x-6)$盒，总价为$10(x-6)$元，合计付款为$[30×6 + 10×(x-6)]$元；
乙商店：6副球拍原价$30×6$元，x盒乒乓球原价$10x$元，全部打九折，合计付款为$(30×90\%×6 + 10×90\%×x)$元。
（2）当$x=15$时，代入甲商店的代数式计算：
$30×6 + 10×(15-6) = 180 + 90 = 270$（元）
代入乙商店的代数式计算：
$30×90\%×6 + 10×90\%×15 = 162 + 135 = 297$（元）
因为$270 ＜ 297$，所以到甲商店购买更省钱。
（3）组合购买方案：先到甲商店购买6副乒乓球拍，可获赠6盒乒乓球，此时还需要$15-6=9$盒乒乓球，这9盒到乙商店按九折购买，总付款为：
$30×6 + 10×90\%×9 = 180 + 81 = 261$（元）
【答案】
（1）$\boxed{[30×6 + 10×(x-6)]}$；$\boxed{(30×90\%×6 + 10×90\%×x)}$
（2）到甲商店购买比较省钱，理由见解析；
（3）先到甲商店购买6副球拍获赠6盒球，再到乙商店购买9盒球，需付款261元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解不同优惠规则，正确列出对应的代数式，第三问需要灵活结合两种优惠的优势设计方案，不要局限于仅在单家商店购买，有助于提升实际问题的分析和决策能力。
【难度系数】
0.7
（1）列两家店的付款代数式时，先理清各自优惠规则：甲店买1副球拍赠1盒球，购买6副球拍会赠送6盒乒乓球，因此仅需要为超出6盒的(x-6)盒乒乓球付费，总付款为6副球拍的总价加(x-6)盒乒乓球的总价；乙店所有商品按定价九折销售，总付款为6副球拍和x盒乒乓球的原价总和乘90%即可。
（2）判断哪家店更省钱，只需将x=15分别代入（1）中得到的两个代数式，计算出两家的实际付款金额，再比较数值大小即可得出结论。
（3）设计更省钱的方案时，结合两家优惠的优势：甲店买球拍赠球的优惠力度大于直接打折，因此先在甲店购买6副球拍，拿到赠送的6盒乒乓球，剩余需要的乒乓球到乙店购买享受九折优惠，组合购买的花费更低。
【解析】
（1）甲商店：6副球拍总价为$30×6$元，赠送6盒乒乓球，需额外付费的乒乓球为$(x-6)$盒，总价为$10(x-6)$元，合计付款为$[30×6 + 10×(x-6)]$元；
乙商店：6副球拍原价$30×6$元，x盒乒乓球原价$10x$元，全部打九折，合计付款为$(30×90\%×6 + 10×90\%×x)$元。
（2）当$x=15$时，代入甲商店的代数式计算：
$30×6 + 10×(15-6) = 180 + 90 = 270$（元）
代入乙商店的代数式计算：
$30×90\%×6 + 10×90\%×15 = 162 + 135 = 297$（元）
因为$270 ＜ 297$，所以到甲商店购买更省钱。
（3）组合购买方案：先到甲商店购买6副乒乓球拍，可获赠6盒乒乓球，此时还需要$15-6=9$盒乒乓球，这9盒到乙商店按九折购买，总付款为：
$30×6 + 10×90\%×9 = 180 + 81 = 261$（元）
【答案】
（1）$\boxed{[30×6 + 10×(x-6)]}$；$\boxed{(30×90\%×6 + 10×90\%×x)}$
（2）到甲商店购买比较省钱，理由见解析；
（3）先到甲商店购买6副球拍获赠6盒球，再到乙商店购买9盒球，需付款261元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查代数式的实际应用，解题核心是准确理解不同优惠规则，正确列出对应的代数式，第三问需要灵活结合两种优惠的优势设计方案，不要局限于仅在单家商店购买，有助于提升实际问题的分析和决策能力。
【难度系数】
0.7
