9. 已知四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，给出下列 $5$ 个条件：① $AB// CD$；② $OA=OC$；③ $AB=CD$；④ $∠ BAD=∠ DCB$；⑤ $AD// BC$. 从以上 $5$ 个条件中任选 $2$ 个条件为一组，能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的有()

A.$4$ 组
B.$5$ 组
C.$6$ 组
D.$7$ 组

9. C

10. 如图，$BD$ 是 $□ ABCD$ 的对角线，点 $E$，$F$ 在 $BD$ 上，要使四边形 $AECF$ 是平行四边形，还需增加的一个条件是.

10. BE=DF(答案不唯一)

11. 如图，已知 $BE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，且 $BE=CF$.
（1）请你判断 $AD$ 是 $△ ABC$ 的中线还是角平分线，并说明理由.
（2）连接 $BF$，$CE$，求证：四边形 $BECF$ 是平行四边形.

11. (1)解:AD是△ABC的中线.理由如下:
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
{∠BDE = ∠CDF,
∠BED = ∠CFD,
BE = CF,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴BD=CD,
∴AD是△ABC的中线.
(2)证明:
∵△BDE≌△CDF,
∴BD=CD,ED=FD,
∴四边形BECF是平行四边形.

12. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OA=5\mathrm{cm}$，$E$，$F$ 为直线 $BD$ 上的两个动点（点 $E$，$F$ 始终在 $□ ABCD$ 的外面），连接 $AE$，$CE$，$CF$，$AF$.
（1）若 $DE=\frac{1}{2}OD$，$BF=\frac{1}{2}OB$，求证：四边形 $AFCE$ 为平行四边形.
（2）若 $DE=\frac{1}{3}OD$，$BF=\frac{1}{3}OB$，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？
（3）若 $CA$ 平分 $∠ BCD$，$∠ AEC=60°$，求四边形 $AECF$ 的周长.

12. (1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵DE = 1/2OD,BF = 1/2OB,
∴DE=BF,
∴DE+OD=BF+OB,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形.
(2)解:
∵DE = 1/3OD,BF = 1/3OB,OD =OB,
∴DE=BF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形.
∴上述结论成立, 由此可得出结论: 若DE = 1/nOD,BF = 1/nOB,则四边形AFCE为平行四边形.
(3)解:在▱ABCD中,AD//BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠DCA,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD.
∵OA=OC,
∴OE⊥AC,
∴OE是AC的垂直平分线,
∴AE=CE.
∵∠AEC = 60°,
∴△ACE是等边三角形,
∴四边形AECF的周长为2(AE+CE)=2×(10 + 10)=40(cm).