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1. 王大爷离家出门散步，他先向正北走了$6\ \mathrm{m}$，接着又向正东走了$8\ \mathrm{m}$，此时他离家的距离为(
A.$7\ \mathrm{m}$
B.$8\ \mathrm{m}$
C.$9\ \mathrm{m}$
D.$10\ \mathrm{m}$
D
)A.$7\ \mathrm{m}$
B.$8\ \mathrm{m}$
C.$9\ \mathrm{m}$
D.$10\ \mathrm{m}$
答案
1.D
解析
【解析】
王大爷向正北走的距离、向正东走的距离与离家的距离构成直角三角形，其中向正北走的$6m$和向正东走的$8m$为直角边。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得离家距离$c = \sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10(m)$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、直角三角形
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，通过构建直角三角形模型求解距离。
【难度系数】
0.7
王大爷向正北走的距离、向正东走的距离与离家的距离构成直角三角形，其中向正北走的$6m$和向正东走的$8m$为直角边。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得离家距离$c = \sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10(m)$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、直角三角形
【点评】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，通过构建直角三角形模型求解距离。
【难度系数】
0.7
2. 如图$20.1 - 4$，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是(
A.$\dfrac{9}{4}π\ \mathrm{cm}^2$
B.$\dfrac{81}{8}π\ \mathrm{cm}^2$
C.$81π\ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{81}{4}π\ \mathrm{cm}^2$
B
)A.$\dfrac{9}{4}π\ \mathrm{cm}^2$
B.$\dfrac{81}{8}π\ \mathrm{cm}^2$
C.$81π\ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{81}{4}π\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.B
解析
【解析】
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），在直角三角形中，已知斜边为$15cm$，一条直角边为$12cm$，则另一条直角边$AB=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9cm$。
因为阴影部分是半圆，其直径为$AB = 9cm$，所以半径$r=\frac{9}{2}cm$。
根据圆的面积公式$S=π r^{2}$，则半圆的面积$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^{2}=\frac{1}{2}π×(\frac{9}{2})^{2}=\frac{81}{8}π cm^{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、圆的面积公式
【点评】
本题先利用勾股定理求出半圆的直径，再根据圆的面积公式求出半圆面积，考查了对勾股定理和圆面积公式的综合运用。
【难度系数】
0.6
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），在直角三角形中，已知斜边为$15cm$，一条直角边为$12cm$，则另一条直角边$AB=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9cm$。
因为阴影部分是半圆，其直径为$AB = 9cm$，所以半径$r=\frac{9}{2}cm$。
根据圆的面积公式$S=π r^{2}$，则半圆的面积$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^{2}=\frac{1}{2}π×(\frac{9}{2})^{2}=\frac{81}{8}π cm^{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、圆的面积公式
【点评】
本题先利用勾股定理求出半圆的直径，再根据圆的面积公式求出半圆面积，考查了对勾股定理和圆面积公式的综合运用。
【难度系数】
0.6
3. 如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将其拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是(
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$
A
)A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$
答案
3.A
解析
【解析】
本题可先求出小正方形的面积，进而得到大正方形的面积，再根据正方形面积公式求出大正方形的边长。
- 步骤一：计算小正方形的面积
已知每个小正方形的边长为$1$，根据正方形面积公式$S = a^2$（其中$S$为正方形面积，$a$为正方形边长），可得每个小正方形的面积为：$1×1 = 1$。
- 步骤二：计算大正方形的面积
通过观察图形可知，大正方形是由$5$个小正方形拼成的，那么大正方形的面积就等于$5$个小正方形面积之和，即大正方形的面积为：$5×1 = 5$。
- 步骤三：计算大正方形的边长
设大正方形的边长为$x$，根据正方形面积公式$S = x^2$，可得$x^2 = 5$。
因为边长不能为负，所以对$x^2 = 5$两边同时开平方，得到$x=\sqrt{5}$，即大正方形的边长为$\sqrt{5}$。
综上，答案是A选项。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积公式、平方根的计算
【点评】
本题通过图形拼接考查正方形面积公式和平方根的计算，解题关键是理解大正方形面积与小正方形面积的关系。
【难度系数】
0.6
本题可先求出小正方形的面积，进而得到大正方形的面积，再根据正方形面积公式求出大正方形的边长。
- 步骤一：计算小正方形的面积
已知每个小正方形的边长为$1$，根据正方形面积公式$S = a^2$（其中$S$为正方形面积，$a$为正方形边长），可得每个小正方形的面积为：$1×1 = 1$。
- 步骤二：计算大正方形的面积
通过观察图形可知，大正方形是由$5$个小正方形拼成的，那么大正方形的面积就等于$5$个小正方形面积之和，即大正方形的面积为：$5×1 = 5$。
- 步骤三：计算大正方形的边长
设大正方形的边长为$x$，根据正方形面积公式$S = x^2$，可得$x^2 = 5$。
因为边长不能为负，所以对$x^2 = 5$两边同时开平方，得到$x=\sqrt{5}$，即大正方形的边长为$\sqrt{5}$。
综上，答案是A选项。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积公式、平方根的计算
【点评】
本题通过图形拼接考查正方形面积公式和平方根的计算，解题关键是理解大正方形面积与小正方形面积的关系。
【难度系数】
0.6
4. 如图$20.1 - 6$所示是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是(
A.$50$
B.$16$
C.$25$
D.$41$
A
)A.$50$
B.$16$
C.$25$
D.$41$
答案
4.A
解析
【解析】
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
观察图形可知，两个直角三角形的直角边分别是两个小正方形的边长，斜边是大正方形的边长。
设两个小正方形的边长分别为$a$、$b$，大正方形的边长为$c$，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
阴影部分的面积等于大正方形的面积，即$c^{2}$。
由图可知$a^{2}=16$，$b^{2}=34$，所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}=16 + 34 = 50$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题通过勾股定理将正方形面积联系起来求解，考查对勾股定理的理解和应用。
【难度系数】
0.3
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
观察图形可知，两个直角三角形的直角边分别是两个小正方形的边长，斜边是大正方形的边长。
设两个小正方形的边长分别为$a$、$b$，大正方形的边长为$c$，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
阴影部分的面积等于大正方形的面积，即$c^{2}$。
由图可知$a^{2}=16$，$b^{2}=34$，所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}=16 + 34 = 50$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题通过勾股定理将正方形面积联系起来求解，考查对勾股定理的理解和应用。
【难度系数】
0.3
5. 如图$20.1 - 7$，池塘边有两点$A$，$B$，点$C$是与$BA$方向成直角的$AC$方向上一点. 测得$CB = 60\ \mathrm{m}$，$AC = 20\ \mathrm{m}$，你能求出$A$，$B$两点间的距离吗？
答案
5. 解：
∵CB=60m，AC=20m，AC⊥AB，
∴AB=$\sqrt{60^{2}-20^{2}}$=40$\sqrt{2}$（m）.
∵CB=60m，AC=20m，AC⊥AB，
∴AB=$\sqrt{60^{2}-20^{2}}$=40$\sqrt{2}$（m）.
解析
【解析】
因为$CB = 60m$，$AC = 20m$，且$AC⊥ AB$，根据勾股定理$AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}$。
将$CB = 60m$，$AC = 20m$代入可得：
$AB=\sqrt{60^{2}-20^{2}}=\sqrt{(60 + 20)×(60 - 20)}=\sqrt{80×40}=\sqrt{3200}=40\sqrt{2}(m)$。
【答案】
$40\sqrt{2}m$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的应用，通过已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，直接运用勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.3
因为$CB = 60m$，$AC = 20m$，且$AC⊥ AB$，根据勾股定理$AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}$。
将$CB = 60m$，$AC = 20m$代入可得：
$AB=\sqrt{60^{2}-20^{2}}=\sqrt{(60 + 20)×(60 - 20)}=\sqrt{80×40}=\sqrt{3200}=40\sqrt{2}(m)$。
【答案】
$40\sqrt{2}m$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的应用，通过已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，直接运用勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.3
