【例】如图$20.1 - 8$，滑杆在机械槽内运动，$∠ ACB$为直角，已知滑杆$AB$长$2.5\ \mathrm{m}$，顶端$A$在$AC$上运动，量得滑杆下端$B$距点$C$的距离为$1.5\ \mathrm{m}$. 当端点$B$向右移动$0.5\ \mathrm{m}$到达点$D$时，求滑杆顶端$A$移动到点$E$时下滑了多少.
【点拨】由题意可知滑杆$AB$与$AC$，$CB$正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算. 本题考查正确运用勾股定理. 善于观察题目的信息是解题的关键.

【例】解：
∵AB=DE=2.5m，BC=1.5m，∠C=90°，
∴AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$=$\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}$=2（m）.
设AE的长为x m，依题意得CE=AC - x = 2 - x.
∵BD=0.5m，
∴CD=CB + BD = 2m.在Rt△ECD中，
CE=$\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}$=$\sqrt{2.5^{2}-(1.5 + 0.5)^{2}}$=1.5（m），
∴2 - x = 1.5，
∴x = 0.5，即AE = 0.5m.答：滑杆顶端A下滑0.5m.

【解析】
∵AB=DE=2.5m，BC=1.5m，∠C=90°，
∴AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$=$\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}$=2（m）。
设AE的长为x m，依题意得CE=AC - x = 2 - x。
∵BD=0.5m，
∴CD=CB + BD = 2m。在Rt△ECD中，
CE=$\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}$=$\sqrt{2.5^{2}-(1.5 + 0.5)^{2}}$=1.5（m），
∴2 - x = 1.5，
∴x = 0.5，即AE = 0.5m。
【答案】
滑杆顶端A下滑0.5m。
【知识点】
勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题通过勾股定理求解直角三角形的边长，思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.5

1. 如图，湖的两岸有$A$，$B$两点，在与$AB$成直角的$BC$方向上的点$C$处测得$AC = 50\ \mathrm{m}$，$BC = 30\ \mathrm{m}$，则$A$，$B$两点间的距离为()

A.$40\ \mathrm{m}$
B.$30\ \mathrm{m}$
C.$50\ \mathrm{m}$
D.$10\sqrt{34}\ \mathrm{m}$

1. A

【解析】
因为$∠ ABC = 90°$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}$。
已知$AC = 50\mathrm{m}$，$BC = 30\mathrm{m}$，则$AB=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=\sqrt{(50 + 30)(50 - 30)}=\sqrt{80×20}=\sqrt{1600}=40(\mathrm{m})$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题关键是判断出直角三角形，再运用勾股定理求解。
【难度系数】
0.7

2. 如图，一支笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是$9\ \mathrm{cm}$，内壁高$12\ \mathrm{cm}$，则这支笔的长度可能是()

A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$12\ \mathrm{cm}$
C.$15\ \mathrm{cm}$
D.$18\ \mathrm{cm}$

2.D

【解析】
本题可先根据勾股定理求出笔筒内部对角线的长度，进而确定笔的长度范围。
- 步骤一：求笔筒内部底面直径与内壁高所构成的直角三角形的斜边长度
已知笔筒的内部底面直径是$9\mathrm{cm}$，内壁高$12\mathrm{cm}$，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$ 为直角边，$c$ 为斜边），可得该直角三角形的斜边长度为：
$\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81 + 144}=\sqrt{225}=15(\mathrm{cm})$
- 步骤二：确定笔的长度范围
因为笔放在圆柱体笔筒中，所以笔的长度大于等于笔筒内部对角线的长度，即笔的长度$≥15\mathrm{cm}$。
- 步骤三：分析各个选项
选项A：$9＜15$，不符合笔的长度范围，所以该选项错误。
选项B：$12＜15$，不符合笔的长度范围，所以该选项错误。
选项C：$15 = 15$，虽然满足笔的长度范围，但结合实际情况，笔的长度应大于$15\mathrm{cm}$，所以该选项错误。
选项D：$18＞15$，符合笔的长度范围，所以该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、圆柱体的特征、长度的比较
【点评】
本题主要考查勾股定理在实际问题中的应用，通过构建直角三角形求出笔筒内部对角线长度，进而确定笔的长度范围，解题关键是理解勾股定理的含义并能正确运用。
【难度系数】
0.6

3. 如图，有两棵树，一棵高$10\ \mathrm{m}$，另一棵高$4\ \mathrm{m}$，两树相距$8\ \mathrm{m}$. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行了()

A.$6\ \mathrm{m}$
B.$8\ \mathrm{m}$
C.$10\ \mathrm{m}$
D.$12\ \mathrm{m}$

3.C

【解析】
设大树高为$AB = 10m$，小树高为$CD = 4m$，过$C$点作$CE⊥ AB$于$E$，则$EBDC$是矩形，连接$AC$。
$\therefore EB = 4m$，$EC = 8m$，$AE = AB - EB = 10 - 4 = 6m$。
在$Rt△ AEC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10m$。
即小鸟至少飞行了$10m$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、矩形的性质、两点之间线段最短
【点评】
本题通过构造直角三角形，利用勾股定理求解最短距离，考查了对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6