4. 学校操场边有一根垂直于地面$l$的旗杆$AB$，一根无弹力、不能伸缩的绳子$n$紧系于旗杆顶端$A$处（打结处忽略不计）. 聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图$1$，当绳子$n$紧靠在旗杆上拉紧到底端$B$后，还多出$1\ \mathrm{m}$，即$BC = 1\ \mathrm{m}$. 如图$2$，当离开旗杆底端$B$处$5\ \mathrm{m}$后，绳子恰好拉直且绳子末端$D$处恰好接触地面，即$BD = 5\ \mathrm{m}$. 请你跟小陶同学一起算一算旗杆$AB$的高度.

4.解：设AB = x m，
∵∠ABD = 90°，
∴在Rt△ABD中，根据勾股定理得x² + 5² = (x + 1)²，解得x = 12，
∴AB的长为12m.答：旗杆AB的长为12m.

【解析】
设$AB = x\ \mathrm{m}$。
因为$∠ ABD = 90°$，所以在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理可得$AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}$。
已知$BD = 5\ \mathrm{m}$，$AD = AB + BC=(x + 1)\ \mathrm{m}$，则$x^{2}+5^{2}=(x + 1)^{2}$。
展开$(x + 1)^{2}$得$x^{2}+2x + 1$，则方程变为$x^{2}+25=x^{2}+2x + 1$。
移项可得$2x=25 - 1$，即$2x = 24$，解得$x = 12$。
【答案】
旗杆$AB$的长为$12\ \mathrm{m}$。
【知识点】
勾股定理、方程求解
【点评】
本题通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解，考查对勾股定理的应用和方程思想。
【难度系数】
0.6

5. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于$55\ \mathrm{cm}$，$10\ \mathrm{cm}$和$6\ \mathrm{cm}$，$A$和$B$是这个台阶的两个相对的端点，点$A$上有一只蚂蚁，想到点$B$去吃可口的食物，这只蚂蚁从点$A$出发，沿着台阶面爬到点$B$，最短路程是多少？

5. 解：展开后由题意得∠C = 90°，AC = 3×10 + 3×6 = 48，BC = 55，由勾股定理得AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{48^{2}+55^{2}}$=73（cm）.

答：最短路线的距离为73cm.

【解析】
将台阶面展开，此时$AC = 3×10 + 3×6 = 48\mathrm{cm}$，$BC = 55\mathrm{cm}$，因为展开后$∠ C = 90°$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，即$AB=\sqrt{48^{2}+55^{2}}=\sqrt{2304 + 3025}=\sqrt{5329}=73\mathrm{cm}$。
【答案】
最短路线的距离为$73\mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理、立体图形展开、距离计算
【点评】
本题通过将立体台阶面展开为平面图形，运用勾股定理求解最短路径，考查学生空间想象与知识运用能力。
【难度系数】
0.3