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3. 已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=10，则线段AC=
$15 - 5\sqrt{5}$或$5\sqrt{5} - 5$
.答案
$15-5\sqrt 5$或$5\sqrt 5-5$
4. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为线段AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果线段AB的长度为8 cm，那么AP的长度是
4.94 cm
(精确到0.01 cm).答案
4.94cm
5. 如图①，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S₁、S₂.若$\frac{S_{1}}{S}=\frac{S_{2}}{S_{1}}=0.618$，则称分成的小扇形为“黄金扇形”.生活中的折扇(图②)大致是“黄金扇形”，“黄金扇形”的圆心角约为
137.5
°(精确到0.1°).答案
137.5
1. 填空：
(1) 若M是线段AB的黄金分割点，且AB=1，则AM=
(2) 若M、N是线段AB上的两个黄金分割点，且AB=1 cm，则MN=
(1) 若M是线段AB的黄金分割点，且AB=1，则AM=
$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$或$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
(保留根号).(2) 若M、N是线段AB上的两个黄金分割点，且AB=1 cm，则MN=
$\sqrt{5} - 2$
cm(保留根号).答案
$ \frac {\sqrt 5-1}2$或$\frac {3-\sqrt 5}2 $
$\sqrt 5-2$
$\sqrt 5-2$
2. 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感.小明在数学活动课中画黄金矩形如图所示，方法归纳如下：
(1) 画正方形ABCD；
(2) 分别取AD、BC的中点M、N，连接MN；
(3) 以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
(4) 过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请证明矩形DCEF为黄金矩形.
(1) 画正方形ABCD；
(2) 分别取AD、BC的中点M、N，连接MN；
(3) 以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
(4) 过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请证明矩形DCEF为黄金矩形.
答案
证明：设正方形ABCD的边长为a
∵BC=a
∴$NC=\frac {1}{2}a$
∴$ND=\sqrt{NC²+CD²}=\frac {\sqrt{5}}{2}a，$$NE= ND=\frac {\sqrt{5}}{2}a$
∴$CE=\frac {\sqrt{5}-1}{2}a$
∴$\frac {CE}{CD}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}$
∴矩形DCEF 是黄金矩形
∵BC=a
∴$NC=\frac {1}{2}a$
∴$ND=\sqrt{NC²+CD²}=\frac {\sqrt{5}}{2}a，$$NE= ND=\frac {\sqrt{5}}{2}a$
∴$CE=\frac {\sqrt{5}-1}{2}a$
∴$\frac {CE}{CD}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}$
∴矩形DCEF 是黄金矩形
