15. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,CD 是斜边上的高.
(1)若$BC=6,AB=10$,求$tanA$、$tan∠ACD$的值;
(2)若$AD:BD=9:4$,求$tan∠BCD$的值.

(第15题)

解：​(1)​在​Rt△ABC​中，∵​BC=6，​​AB=10​
∴$​AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=8​$
∴$​tan A=\frac {BC}{AC}=\frac 34​$
∵​CD​是斜边上的高
∴​∠CDB=∠ACB=90°​
∴​∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°​
∴​∠B=∠ACD​
∴$​tan ∠ACD=tan B=\frac {AC}{BC}=\frac 43​$
​(2)​不妨设​AD=9x，​则​BD=4x​
∵​∠ACD=∠B​
∴​90°-∠ACD=90°-∠B，​即​∠BCD=∠A​
∴​tan ∠BCD=tan A，​即$​\frac {BD}{CD}=\frac {CD}{AD}​$
∴$​CD^2=BD · AD​$
∵​AD=9x，​​BD=4x​
∴​CD=6x​
∴$​tan ∠BCD=\frac {BD}{CD}=\frac {4x}{6x}=\frac 23​$

16. 阅读下列材料:
如图,在$\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,锐角A的对边与邻边的比叫做$∠A$的正切,记作$tanA$,即$tanA=\frac {∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac {a}{b}$;锐角A的邻边与对边的比叫做$∠A$的余切,记作$cotA$,即$cotA=\frac {∠A的邻边}{∠A的对边}=\frac {b}{a}$.由此可知,$∠A$的正切与余切的关系为$tanA· cotA=1$.
根据以上内容回答下列问题:
(1)若$a=1,b=2$,则$cotA=$,$cotB=$;
(2)若$tanA=\frac {2}{3}$,则$cotA=$;
(3)不使用计算器,求$cot40^{\circ }· cot50^{\circ }$的值.

(第16题)

2
$​\frac {1}{2}​$
$​\frac {3}{2}​$
解：​(3)​由题意得$​cot 40° · cot 50°=\frac 1{tan 40°} · \frac 1{tan 50°}=\frac 1{tan_{40}° · tan 50°}​$
∵​tan 40° · tan 50°=1​
∴​cot 40° · cot 50°=1​