例1 (2022·大连)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，点D在AC上，CD=3，连接DB，AD=DB，P是边AC上的一动点(点P不与点A，D，C重合)，过点P作AC的垂线，与AB交于点Q，连接DQ.设AP=x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S.
(1)求AC的长；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.

分析 (1)根据勾股定理可求出BD的长，根据AD=BD进而求出AC的长即可；
(2)分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别作出相应的图形，根据相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示有关线段的长，由三角形面积之间的关系求解即可.

(1)设AD=BD=y，在Rt△BCD中，CD=3，BC=4，由勾股定理得BD²=CD²+BC²，即y²=3²+4²=25，解得y=5，∴AD=5，AC=AD+CD=5+3=8。
(2)当0＜x＜5时，PD=5-x，QP= x/2，S=1/2·PD·QP=1/2·(5-x)·(x/2)=(-x²+5x)/4；
当5＜x＜8时，PD=x-5，E为PQ与BD交点，E(x,4/3(x-5))，PE=x/2 - 4/3(x-5)，S=1/2·PD·PE=5(-x²+13x-40)/12=(-5x²+65x-200)/12。
综上，S=
$\begin{cases} -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{5}{4}x & (0 ＜ x ＜ 5) \\-\dfrac{5}{12}x^2 + \dfrac{65}{12}x - \dfrac{50}{3} & (5 ＜ x ＜ 8)\end{cases}$