例2 (2023·广东)如图①，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如图②，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜45°)，边AB交直线y=x于点E，边BC交y轴于点F.
(1)当旋转角∠COF的度数为时，OE=OF；
(2)当点A的坐标为A(4，3)时，求FC的长；
(3)如图③，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别记为S₁与S₂.设S=S₁ - S₂，AN=n，求S关于n的函数解析式.



分析 (1)在图②中，当OE=OF时，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；
(2)在图②中，过点A作AG⊥x轴于点G，利用三角形相似求解即可；
(3)过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，利用四点共圆，得出△FON是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式求解即可.

(1)22.5°；(2)15/4；(3)S=1/2 n²

(1) 22.5°
(2) 过点A作AG⊥x轴于G，A(4,3)，则OA=√(4²+3²)=5，正方形边长为5。向量OA=(4,3)，则向量OC=(-3,4)（OA逆时针旋转90°），C(-3,4)。B点坐标为OA+OC=(1,7)。直线BC斜率k=(4-7)/(-3-1)=3/4，方程：y-7=(3/4)(x-1)。令x=0，得y=25/4，F(0,25/4)。FC=√[(-3-0)²+(4-25/4)²]=√[9+81/16]=15/4。
(3) 设正方形边长为a，旋转角α，A(a cosα,a sinα)，C(-a sinα,a cosα)。AC方程与y=x交于N(a/(2 cosα),a/(2 cosα))，F(0,a/cosα)。S₂=1/2·OF·|x_C|=1/2·(a/cosα)·a sinα=1/2 a² tanα。S₁=1/2·x_N·y_F=1/2·(a/(2 cosα))·(a/cosα)=a²/(4 cos²α)。AN=n，AN²=[a/(2 cosα)-a cosα]²+[a/(2 cosα)-a sinα]²=n²，化简得a²(1-sin2α)/(2 cos²α)=n²。S=S₁-S₂=a²(1-sin2α)/(4 cos²α)=n²/2。故S=1/2 n²。