登录
19. (8分)如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$CD$延长线上的点，且$BE=DF$，连接$EF$交$AD$，$BC$于点$G$，$H$.
求证：$FG=EH$.
求证：$FG=EH$.
答案
19. 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$∠ A=∠ C$，
$\therefore ∠ E=∠ F$，$∠ A=∠ FDG$，$∠ EBH=∠ C$，
$\therefore ∠ EBH=∠ FDG$.
在$△ EBH$与$△ FDG$中，
$∠ E=∠ F$，$BE=DF$，$∠ EBH=∠ FDG$，
$\therefore △ EBH≌ △ FDG(\mathrm{ASA})$，$\therefore FG=EH$.
$\therefore AB// CD$，$∠ A=∠ C$，
$\therefore ∠ E=∠ F$，$∠ A=∠ FDG$，$∠ EBH=∠ C$，
$\therefore ∠ EBH=∠ FDG$.
在$△ EBH$与$△ FDG$中，
$∠ E=∠ F$，$BE=DF$，$∠ EBH=∠ FDG$，
$\therefore △ EBH≌ △ FDG(\mathrm{ASA})$，$\therefore FG=EH$.
20. (9分)如图，在长方形$ABCD$中，当点$P$在边$AD$（不包括$A$，$D$两点）上从$A$向$D$移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些则发生了变化.
(1)试分别写出长度变化的线段、长度不变化的线段、面积变化的三角形、面积不变化的三角形；
(2)假设长方形的长$AD$为$10\mathrm{cm}$，宽$AB$为$4\mathrm{cm}$，线段$AP$的长为$x\mathrm{cm}$，分别写出线段$PD$的长度$(y)$、$△ PCD$的面积$(S)$与$x$之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围.
(1)试分别写出长度变化的线段、长度不变化的线段、面积变化的三角形、面积不变化的三角形；
(2)假设长方形的长$AD$为$10\mathrm{cm}$，宽$AB$为$4\mathrm{cm}$，线段$AP$的长为$x\mathrm{cm}$，分别写出线段$PD$的长度$(y)$、$△ PCD$的面积$(S)$与$x$之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围.
答案
20. 解：(1)长度变化的线段有$PA$，$PD$，$PB$，$PC$；长度不变的线段有$AB$，$BC$，$CD$，$DA$.
面积变化的三角形有$△ APB$，$△ DPC$；面积不变的三角形有$△ PBC$.
(2)根据题意可知，$PD=AD-AP$，
$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AP=x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore y=10-x$，其中$0 ＜ x ＜ 10$. 根据题意，
$△ PCD$的面积$=\frac{1}{2}DC· PD$，$\therefore S=\frac{1}{2}× 4× (10-x)=20-2x$，其中$0 ＜ x ＜ 10$.
面积变化的三角形有$△ APB$，$△ DPC$；面积不变的三角形有$△ PBC$.
(2)根据题意可知，$PD=AD-AP$，
$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AP=x\ \mathrm{cm}$，
$\therefore y=10-x$，其中$0 ＜ x ＜ 10$. 根据题意，
$△ PCD$的面积$=\frac{1}{2}DC· PD$，$\therefore S=\frac{1}{2}× 4× (10-x)=20-2x$，其中$0 ＜ x ＜ 10$.
21. (9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(1,1)$，点$B$在直线$y=1$上，点$C(2+\sqrt{10},4)$，点$D(2,4)$，且$∠ D=∠ B$，试判断四边形$ABCD$的形状，并证明你的结论.
答案
21. 解：四边形$ABCD$为菱形.
理由如下：连接$AC$，
$\because$ 点$C(2+\sqrt{10},4)$，点$D(2,4)$，$\therefore$ 直线$CD$的表达式为$y=4$，
$\because$ 点$A(1,1)$，点$B$在直线$y=1$上，
$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=1$，
$\therefore CD// AB$，$\therefore ∠ ACD=∠ CAB$.
又$∠ D=∠ B$，$AC=CA$，
$\therefore △ ACD≌ △ CAB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=CD$，$AD=CB$.$\because A(1,1)$，$C(2+\sqrt{10},4)$，$D(2,4)$，$\therefore AD=\sqrt{10}$，$CD=\sqrt{10}$，
$\therefore AD=CD$，
$\therefore AB=BC=CD=AD$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$为菱形.
22. (10分)如图，在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=4$，过对角线$BD$的中点$O$的直线分别交$AB$，$CD$边于点$E$，$F$.
(1)求证：四边形$BEDF$是平行四边形.
(2)当四边形$BEDF$是菱形时，求$EF$的长.
(1)求证：四边形$BEDF$是平行四边形.
(2)当四边形$BEDF$是菱形时，求$EF$的长.
答案
22. (1)证明：$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$O$是$BD$的中点，
$\therefore ∠ A=90°$，$AD=BC=4$，$AB// DC$，$OB =OD$，
$\therefore ∠ OBE=∠ ODF$，
又$\because ∠ BOE=∠ DOF$，$\therefore △ BOE≌ △ DOF (\mathrm{ASA})$，
$\therefore EO=FO$，$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形.
(2)解：当四边形$BEDF$是菱形时，$BD⊥ EF$，设$BE=x$，则$DE=x$，$AE=6-x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$DE^{2}=AD^{2}+AE^{2}$，
$\therefore x^{2}=4^{2}+(6-x)^{2}$，解得$x=\frac{13}{3}$，
$\because BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=2\sqrt{13}$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}BD=\sqrt{13}$，
$\because BD⊥ EF$，
$\therefore EO=\sqrt{BE^{2}-OB^{2}}=\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
$\therefore EF=2EO=\frac{4\sqrt{13}}{3}$.
$\therefore ∠ A=90°$，$AD=BC=4$，$AB// DC$，$OB =OD$，
$\therefore ∠ OBE=∠ ODF$，
又$\because ∠ BOE=∠ DOF$，$\therefore △ BOE≌ △ DOF (\mathrm{ASA})$，
$\therefore EO=FO$，$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形.
(2)解：当四边形$BEDF$是菱形时，$BD⊥ EF$，设$BE=x$，则$DE=x$，$AE=6-x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$DE^{2}=AD^{2}+AE^{2}$，
$\therefore x^{2}=4^{2}+(6-x)^{2}$，解得$x=\frac{13}{3}$，
$\because BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=2\sqrt{13}$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}BD=\sqrt{13}$，
$\because BD⊥ EF$，
$\therefore EO=\sqrt{BE^{2}-OB^{2}}=\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
$\therefore EF=2EO=\frac{4\sqrt{13}}{3}$.
