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13. 甲、乙两工程队共同修建 $ 150 \mathrm{~km} $ 的公路,原计划 30 个月完工.实际施工时,甲队通过技术创新,施工效率提高了 $ 50 \% $,乙队施工效率不变,结果提前 5 个月完工.甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长?
答案
13. 解：设甲工程队原计划平均每月修建 $x$ km，乙工程队原计划平均每月修建 $y$ km。根据题意，得 $\begin{cases}150 = 30(x + y), \\150 = (30 - 5)[(1 + 50\%)x + y].\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 2, \\y = 3.\end{cases}$ 答：甲工程队原计划平均每月修建 2 km，乙工程队原计划平均每月修建 3 km。
解析
【解析】
设甲工程队原计划平均每月修建$x$ km，乙工程队原计划平均每月修建$y$ km。
根据题意，结合工作总量=工作时间×工作效率，可列方程组：
$\begin{cases}150 = 30(x + y), \\150 = (30 - 5)[(1 + 50\%)x + y]\end{cases}$
解该方程组，得$\begin{cases}x = 2, \\y = 3\end{cases}$
即甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km。
【答案】
甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km。
【知识点】
二元一次方程组的应用，工程问题
【点评】
本题考查二元一次方程组在工程问题中的实际应用，解题关键是根据工作总量、工作时间、工作效率的等量关系，准确列出方程组并求解。
【难度系数】
0.6
设甲工程队原计划平均每月修建$x$ km，乙工程队原计划平均每月修建$y$ km。
根据题意，结合工作总量=工作时间×工作效率，可列方程组：
$\begin{cases}150 = 30(x + y), \\150 = (30 - 5)[(1 + 50\%)x + y]\end{cases}$
解该方程组，得$\begin{cases}x = 2, \\y = 3\end{cases}$
即甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km。
【答案】
甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km。
【知识点】
二元一次方程组的应用，工程问题
【点评】
本题考查二元一次方程组在工程问题中的实际应用，解题关键是根据工作总量、工作时间、工作效率的等量关系，准确列出方程组并求解。
【难度系数】
0.6
14. 某自行车制造厂开发了一款新式自行车,计划 6 月份生产安装 600 辆,由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后也能独立进行安装.调研部门发现:1 名熟练工和 2 名新工人每日可安装 8 辆自行车;2 名熟练工和 3 名新工人每日可安装 14 辆自行车.
(1) 每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车?
(2) 如果工厂招聘 $ n $ 名新工人 $ (0 ＜ n ＜ 10) $,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成 6 月份(30 天)的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
(3) 该自行车关于轮胎的使用有以下说明:本轮胎如安装在前轮,安全行驶路程为 11 千公里;如安装在后轮,安全行驶路程为 9 千公里.请问:一对轮胎能行驶的最长路程是多少千公里?
(1) 每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车?
(2) 如果工厂招聘 $ n $ 名新工人 $ (0 ＜ n ＜ 10) $,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成 6 月份(30 天)的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
(3) 该自行车关于轮胎的使用有以下说明:本轮胎如安装在前轮,安全行驶路程为 11 千公里;如安装在后轮,安全行驶路程为 9 千公里.请问:一对轮胎能行驶的最长路程是多少千公里?
答案
14. 解：(1)设每名熟练工每日可以安装 $x$ 辆自行车，每名新工人每日可以安装 $y$ 辆自行车，根据题意，得 $\begin{cases}x + 2y = 8, \\2x + 3y = 14.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 4, \\y = 2.\end{cases}$ 答：每名熟练工每日可以安装 4 辆自行车，每名新工人每日可以安装 2 辆自行车。(2)设抽调熟练工 $a$ 名，根据题意，得 $(2n + 4a)×30 = 600$。$\therefore n = 10 - 2a$，$\therefore \begin{cases}a = 1, \\n = 8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a = 2, \\n = 6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a = 3, \\n = 4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a = 4, \\n = 2.\end{cases}$ 答：工厂可以招 2 名、4 名、6 名或 8 名新工人。
(3)设一个轮胎用作前轮使用 $m$ 千公里，用作后轮使用 $n$ 千公里，根据题意，得 $\begin{cases}\frac{m}{11} + \frac{n}{9} = 1, \frac{m}{9} + \frac{n}{11} = 1.\end{cases}$ $\therefore m + n = 9.9$。答：一对轮胎能行驶的最长路程是 9.9 千公里。
(3)设一个轮胎用作前轮使用 $m$ 千公里，用作后轮使用 $n$ 千公里，根据题意，得 $\begin{cases}\frac{m}{11} + \frac{n}{9} = 1, \frac{m}{9} + \frac{n}{11} = 1.\end{cases}$ $\therefore m + n = 9.9$。答：一对轮胎能行驶的最长路程是 9.9 千公里。
解析
【解析】
(1) 设每名熟练工每日安装$x$辆自行车，每名新工人每日安装$y$辆自行车。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 8 \\2x + 3y = 14\end{cases}$
解此方程组得：$\begin{cases}x = 4 \\y = 2\end{cases}$
(2) 设抽调熟练工$a$名，根据30天完成600辆安装任务列方程：
$(2n + 4a)×30 = 600$
化简得：$n = 10 - 2a$
结合$0 ＜ n ＜ 10$且$a$为正整数，可得：
当$a=1$时，$n=8$；当$a=2$时，$n=6$；当$a=3$时，$n=4$；当$a=4$时，$n=2$。
(3) 设一个轮胎用作前轮行驶$m$千公里，用作后轮行驶$n$千公里。
根据轮胎磨损总量为1列方程组：
$\begin{cases}\frac{m}{11} + \frac{n}{9} = 1 \\frac{m}{9} + \frac{n}{11} = 1\end{cases}$
两式相加后整理得：$(m+n)(\frac{9+11}{99})=2$，解得$m+n=9.9$
【答案】
(1) 每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车；
(2) 工厂有4种招聘方案：招聘2名、4名、6名、8名新工人；
(3) 一对轮胎能行驶的最长路程是9.9千公里。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 二元一次方程整数解
3. 实际问题方案设计
【点评】
本题结合生产任务、人员招聘和轮胎使用三个实际场景，考查了二元一次方程组与二元一次方程的应用，需要准确建立数学模型，分析整数解的取值范围，轮胎问题需运用整体思想求解，提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 设每名熟练工每日安装$x$辆自行车，每名新工人每日安装$y$辆自行车。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 8 \\2x + 3y = 14\end{cases}$
解此方程组得：$\begin{cases}x = 4 \\y = 2\end{cases}$
(2) 设抽调熟练工$a$名，根据30天完成600辆安装任务列方程：
$(2n + 4a)×30 = 600$
化简得：$n = 10 - 2a$
结合$0 ＜ n ＜ 10$且$a$为正整数，可得：
当$a=1$时，$n=8$；当$a=2$时，$n=6$；当$a=3$时，$n=4$；当$a=4$时，$n=2$。
(3) 设一个轮胎用作前轮行驶$m$千公里，用作后轮行驶$n$千公里。
根据轮胎磨损总量为1列方程组：
$\begin{cases}\frac{m}{11} + \frac{n}{9} = 1 \\frac{m}{9} + \frac{n}{11} = 1\end{cases}$
两式相加后整理得：$(m+n)(\frac{9+11}{99})=2$，解得$m+n=9.9$
【答案】
(1) 每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车；
(2) 工厂有4种招聘方案：招聘2名、4名、6名、8名新工人；
(3) 一对轮胎能行驶的最长路程是9.9千公里。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 二元一次方程整数解
3. 实际问题方案设计
【点评】
本题结合生产任务、人员招聘和轮胎使用三个实际场景，考查了二元一次方程组与二元一次方程的应用，需要准确建立数学模型，分析整数解的取值范围，轮胎问题需运用整体思想求解，提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
