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11. 在正常情况下,一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数 $ S $ (次/分) 与这个人年龄 $ n $ (岁) 满足关系式:$ S = an + b $, $ a $, $ b $ 均为常数.
| 根据医学上的科学研究表明,人在运动时,心跳的快慢通常和年龄相关. | 在正常情况下,年龄 15 岁和 45 岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为 164 次/分和 144 次/分. |
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(1) 根据图中提供的信息,求 $ a $, $ b $ 的值.
(2) 若一位 63 岁的人在跑步,医生在途中给他测得 10 秒心跳为 26 次,问:他是否有危险? 为什么?
| 根据医学上的科学研究表明,人在运动时,心跳的快慢通常和年龄相关. | 在正常情况下,年龄 15 岁和 45 岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为 164 次/分和 144 次/分. |
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(1) 根据图中提供的信息,求 $ a $, $ b $ 的值.
(2) 若一位 63 岁的人在跑步,医生在途中给他测得 10 秒心跳为 26 次,问:他是否有危险? 为什么?
答案
11. (1) $a = -\frac{2}{3}$，$b = 174$。(2)当 $n = 63$ 时，$S = -\frac{2}{3}×63 + 174 = 132$（次/分）。即 63 岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为 132 次/分。而 $26×\frac{60}{10} = 156$（次/分）$＞ 132$（次/分）。所以，他有危险。
解析
【解析】
(1) 将年龄与对应最高心跳次数代入关系式$S = an + b$，可得方程组：
$\begin{cases}15a + b = 164 \\ 45a + b = 144\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$30a = -20$，解得$a = -\frac{2}{3}$。
将$a = -\frac{2}{3}$代入$15a + b = 164$，得$15×(-\frac{2}{3}) + b = 164$，解得$b = 174$。
(2) 当$n = 63$时，代入$S = -\frac{2}{3}n + 174$，得：
$S = -\frac{2}{3}×63 + 174 = 132$（次/分）。
该人实际每分钟心跳次数为$26×\frac{60}{10} = 156$（次/分）。
因为$156＞132$，所以他有危险。
【答案】
(1) $a = -\frac{2}{3}$，$b = 174$；
(2) 他有危险，理由：63岁的人运动时所能承受的最高心跳次数为132次/分，而他实际每分钟心跳为156次，超过了最高次数。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数实际应用
【点评】
本题通过建立一次函数模型，利用二元一次方程组求解参数，再结合实际数据判断是否有危险，考查了学生对一次函数及方程组的综合应用能力，贴近生活实际，有助于提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 将年龄与对应最高心跳次数代入关系式$S = an + b$，可得方程组：
$\begin{cases}15a + b = 164 \\ 45a + b = 144\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$30a = -20$，解得$a = -\frac{2}{3}$。
将$a = -\frac{2}{3}$代入$15a + b = 164$，得$15×(-\frac{2}{3}) + b = 164$，解得$b = 174$。
(2) 当$n = 63$时，代入$S = -\frac{2}{3}n + 174$，得：
$S = -\frac{2}{3}×63 + 174 = 132$（次/分）。
该人实际每分钟心跳次数为$26×\frac{60}{10} = 156$（次/分）。
因为$156＞132$，所以他有危险。
【答案】
(1) $a = -\frac{2}{3}$，$b = 174$；
(2) 他有危险，理由：63岁的人运动时所能承受的最高心跳次数为132次/分，而他实际每分钟心跳为156次，超过了最高次数。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数实际应用
【点评】
本题通过建立一次函数模型，利用二元一次方程组求解参数，再结合实际数据判断是否有危险，考查了学生对一次函数及方程组的综合应用能力，贴近生活实际，有助于提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
12. 某品牌童装在甲、乙两家门店同时销售 $ A $, $ B $ 两款童装,4 月份甲门店销售 $ A $ 款童装 60 件, $ B $ 款童装 15 件,两款童装的销售总额为 3600 元,乙门店销售 $ A $ 款童装 40 件, $ B $ 款童装 60 件,两款童装的销售总额为 4400 元.
(1) $ A $ 款童装和 $ B $ 款童装每件售价各是多少元?
(2) 现计划 5 月将 $ A $ 款童装的销售额增加 $ 20 \% $,则 $ B $ 款童装的销售额需增加百分之几,才能使 $ A $, $ B $ 两款童装的销售额之比为 $ 4:3 $?
(1) $ A $ 款童装和 $ B $ 款童装每件售价各是多少元?
(2) 现计划 5 月将 $ A $ 款童装的销售额增加 $ 20 \% $,则 $ B $ 款童装的销售额需增加百分之几,才能使 $ A $, $ B $ 两款童装的销售额之比为 $ 4:3 $?
答案
12. 解：(1)设 $A$ 款童装每件售价为 $x$ 元，$B$ 款每件售价为 $y$ 元。根据题意，得 $\begin{cases}60x + 15y = 3600, \\40x + 60y = 4400.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 50, \\y = 40.\end{cases}$ 答：$A$ 款童装每件售价为 50 元，$B$ 款每件售价为 40 元。(2)5 月 $A$ 款销售额为 $(60 + 40)×50×(1 + 20\%) = 6000$（元），由题意，得 5 月 $B$ 款销售额为 $6000×\frac{3}{4} = 4500$（元），4 月 $B$ 款销售额为 $(15 + 60)×40 = 3000$（元），$\therefore B$ 款销售额增加 $\frac{4500 - 3000}{3000}×100\% = 50\%$。答：$B$ 款童装的销售额需增加 $50\%$，才能使 $A$，$B$ 两款童装的销售额之比为 $4:3$。
解析
【解析】
(1)设$A$款童装每件售价为$x$元，$B$款每件售价为$y$元。根据题意，得
$\begin{cases}60x + 15y = 3600, \\40x + 60y = 4400.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 50, \\y = 40.\end{cases}$
(2)计算5月$A$款销售额：$(60 + 40)×50×(1 + 20\%) = 6000$（元），
根据$A$、$B$销售额之比为$4:3$，可得5月$B$款销售额为$6000×\frac{3}{4} = 4500$（元），
4月$B$款销售额为$(15 + 60)×40 = 3000$（元），
则$B$款销售额增加的百分比为$\frac{4500 - 3000}{3000}×100\% = 50\%$。
【答案】
(1)$A$款童装每件售价为50元，$B$款童装每件售价为40元；
(2)$B$款童装的销售额需增加$50\%$。
【知识点】
二元一次方程组的应用，百分比的实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程组与百分比的实际应用，解题关键是准确分析题目中的等量关系，建立数学模型解决问题，理清各销售额之间的数量关系是核心。
【难度系数】
0.6
(1)设$A$款童装每件售价为$x$元，$B$款每件售价为$y$元。根据题意，得
$\begin{cases}60x + 15y = 3600, \\40x + 60y = 4400.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 50, \\y = 40.\end{cases}$
(2)计算5月$A$款销售额：$(60 + 40)×50×(1 + 20\%) = 6000$（元），
根据$A$、$B$销售额之比为$4:3$，可得5月$B$款销售额为$6000×\frac{3}{4} = 4500$（元），
4月$B$款销售额为$(15 + 60)×40 = 3000$（元），
则$B$款销售额增加的百分比为$\frac{4500 - 3000}{3000}×100\% = 50\%$。
【答案】
(1)$A$款童装每件售价为50元，$B$款童装每件售价为40元；
(2)$B$款童装的销售额需增加$50\%$。
【知识点】
二元一次方程组的应用，百分比的实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程组与百分比的实际应用，解题关键是准确分析题目中的等量关系，建立数学模型解决问题，理清各销售额之间的数量关系是核心。
【难度系数】
0.6
