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7. 医院用甲、乙两种食物为手术后的病人配置营养餐,两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如下表.如果病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质,那么每份营养餐中,甲、乙两种食物各需多少克?
答案
7. 解：设甲、乙两种食物各需 $x$ 克、$y$ 克，则 $\begin{cases}0.5x + 0.7y = 35, \\x + 0.4y = 40.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 28, \\y = 30.\end{cases}$ 答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要 28，30 克。
解析
【解析】
设每份营养餐中甲种食物需$x$克，乙种食物需$y$克。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}0.5x + 0.7y = 35, \\x + 0.4y = 40.\end{cases}$
解方程组：
由$x + 0.4y = 40$得$x=40-0.4y$，将其代入$0.5x + 0.7y = 35$，
$0.5(40-0.4y)+0.7y=35$，
$20-0.2y+0.7y=35$，
$0.5y=15$，
解得$y=30$。
把$y=30$代入$x=40-0.4y$，得$x=40-0.4×30=28$。
所以$\begin{cases}x = 28, \\y = 30.\end{cases}$
答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28克、30克。
【答案】
每份营养餐中，甲种食物需28克，乙种食物需30克。
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用，解题关键是根据蛋白质和铁质的需求量列出等量关系，建立方程组求解，考查学生分析和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
设每份营养餐中甲种食物需$x$克，乙种食物需$y$克。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}0.5x + 0.7y = 35, \\x + 0.4y = 40.\end{cases}$
解方程组：
由$x + 0.4y = 40$得$x=40-0.4y$，将其代入$0.5x + 0.7y = 35$，
$0.5(40-0.4y)+0.7y=35$，
$20-0.2y+0.7y=35$，
$0.5y=15$，
解得$y=30$。
把$y=30$代入$x=40-0.4y$，得$x=40-0.4×30=28$。
所以$\begin{cases}x = 28, \\y = 30.\end{cases}$
答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28克、30克。
【答案】
每份营养餐中，甲种食物需28克，乙种食物需30克。
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用，解题关键是根据蛋白质和铁质的需求量列出等量关系，建立方程组求解，考查学生分析和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 某生态柑橘园现有柑橘 21 吨,计划租用 $ A $, $ B $ 两种型号的货车将柑橘运往外地销售.已知满载时,用 3 辆 $ A $ 型车和 2 辆 $ B $ 型车一次可运柑橘 13 吨;用 4 辆 $ A $ 型车和 3 辆 $ B $ 型车一次可运柑橘 18 吨.
(1) 1 辆 $ A $ 型车和 1 辆 $ B $ 型车满载时一次分别运柑橘多少吨?
(2) 若计划租用 $ A $ 型货车 $ m $ 辆, $ B $ 型货车 $ n $ 辆,一次运完全部柑橘,且每辆车均为满载,请帮柑橘园设计租车方案.
(1) 1 辆 $ A $ 型车和 1 辆 $ B $ 型车满载时一次分别运柑橘多少吨?
(2) 若计划租用 $ A $ 型货车 $ m $ 辆, $ B $ 型货车 $ n $ 辆,一次运完全部柑橘,且每辆车均为满载,请帮柑橘园设计租车方案.
答案
8. 解：(1)设满载时 1 辆 $A$ 型车一次可运柑橘 $x$ 吨，1 辆 $B$ 型车一次可运柑橘 $y$ 吨，依题意，得 $\begin{cases}3x + 2y = 13, \\4x + 3y = 18.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 3, \\y = 2.\end{cases}$ 答：1 辆 $A$ 型车满载时一次可运柑橘 3 吨，1 辆 $B$ 型车满载时一次可运柑橘 2 吨。(2)依题意，得 $3m + 2n = 21$，$\therefore m = 7 - \frac{2}{3}n$。又 $\because m$，$n$ 均为非负整数，$\therefore \begin{cases}m = 1, \\n = 9\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 3, \\n = 6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 5, \\n = 3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 7, \\n = 0.\end{cases}$ 答：共有 4 种租车方案。方案 1：租用 1 辆 $A$ 型车，9 辆 $B$ 型车；方案 2：租用 3 辆 $A$ 型车，6 辆 $B$ 型车；方案 3：租用 5 辆 $A$ 型车，3 辆 $B$ 型车；方案 4：租用 7 辆 $A$ 型车。
解析
【解析】
(1)设满载时1辆$A$型车一次可运柑橘$x$吨，1辆$B$型车一次可运柑橘$y$吨，依题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 13, \\4x + 3y = 18\end{cases}$
解此方程组得$\begin{cases}x = 3, \\y = 2\end{cases}$。
(2)根据题意得$3m + 2n = 21$，变形为$m = 7 - \frac{2}{3}n$。
因为$m$、$n$均为非负整数，所以$n$为3的非负整数倍，由此可得：
当$n=0$时，$m=7$；当$n=3$时，$m=5$；当$n=6$时，$m=3$；当$n=9$时，$m=1$，进而确定租车方案。
【答案】
(1)1辆$A$型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆$B$型车满载时一次可运柑橘2吨；
(2)共有4种租车方案：
方案1：租用1辆$A$型车，9辆$B$型车；
方案2：租用3辆$A$型车，6辆$B$型车；
方案3：租用5辆$A$型车，3辆$B$型车；
方案4：租用7辆$A$型车。
【知识点】
二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解应用
【点评】
本题考查二元一次方程组及二元一次方程的实际应用，需根据题意建立数学模型，结合非负整数条件确定方案，体现数学建模思想在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.7
(1)设满载时1辆$A$型车一次可运柑橘$x$吨，1辆$B$型车一次可运柑橘$y$吨，依题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 13, \\4x + 3y = 18\end{cases}$
解此方程组得$\begin{cases}x = 3, \\y = 2\end{cases}$。
(2)根据题意得$3m + 2n = 21$，变形为$m = 7 - \frac{2}{3}n$。
因为$m$、$n$均为非负整数，所以$n$为3的非负整数倍，由此可得：
当$n=0$时，$m=7$；当$n=3$时，$m=5$；当$n=6$时，$m=3$；当$n=9$时，$m=1$，进而确定租车方案。
【答案】
(1)1辆$A$型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆$B$型车满载时一次可运柑橘2吨；
(2)共有4种租车方案：
方案1：租用1辆$A$型车，9辆$B$型车；
方案2：租用3辆$A$型车，6辆$B$型车；
方案3：租用5辆$A$型车，3辆$B$型车；
方案4：租用7辆$A$型车。
【知识点】
二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解应用
【点评】
本题考查二元一次方程组及二元一次方程的实际应用，需根据题意建立数学模型，结合非负整数条件确定方案，体现数学建模思想在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.7
9. 据研究,地面上空 $ h(\mathrm{m}) $ 处的气温 $ t({ }° \mathrm{C}) $ 与地面气温 $ T({ }° \mathrm{C}) $ 有如下关系:$ t = -kh + T $.现用气象气球测得某时离地面 $ 200(\mathrm{m}) $ 处的气温 $ t $ 为 $ 8.8° \mathrm{C} $,离地面 $ 400(\mathrm{m}) $ 处的气温 $ t $ 为 $ 6.8° \mathrm{C} $,请你估算此时离地面 $ 2500(\mathrm{m}) $ 处的高空气温是
$-14.2°C$
.答案
9. $-14.2°C$
解析
【解析】
将$ h=200, t=8.8 $和$ h=400, t=6.8 $分别代入$ t = -kh + T $，得到方程组：
$\begin{cases}8.8 = -200k + T \\6.8 = -400k + T\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，解得$ k = 0.01 $。
将$ k=0.01 $代入$ 8.8 = -200k + T $，解得$ T = 10.8 $。
得到气温公式$ t = -0.01h + 10.8 $，当$ h=2500 $时，代入得：
$ t = -0.01×2500 + 10.8 = -14.2(°C) $。
【答案】
$-14.2°C$
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数求值
【点评】
本题通过代入已知数据建立二元一次方程组，求解出气温与高度的函数关系式后，再代入目标高度计算气温，考查了利用方程组解决实际问题的能力，关键是准确建立方程并求解。
【难度系数】
0.6
将$ h=200, t=8.8 $和$ h=400, t=6.8 $分别代入$ t = -kh + T $，得到方程组：
$\begin{cases}8.8 = -200k + T \\6.8 = -400k + T\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，解得$ k = 0.01 $。
将$ k=0.01 $代入$ 8.8 = -200k + T $，解得$ T = 10.8 $。
得到气温公式$ t = -0.01h + 10.8 $，当$ h=2500 $时，代入得：
$ t = -0.01×2500 + 10.8 = -14.2(°C) $。
【答案】
$-14.2°C$
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数求值
【点评】
本题通过代入已知数据建立二元一次方程组，求解出气温与高度的函数关系式后，再代入目标高度计算气温，考查了利用方程组解决实际问题的能力，关键是准确建立方程并求解。
【难度系数】
0.6
10. 今年小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现,12 年之后,他的年龄变成爷爷的三分之一.今年小李的年龄是
12 岁
.答案
10. 12 岁
解析
【解析】
设今年小李的年龄为$ x $岁，则今年爷爷的年龄为$ 5x $岁。
根据12年后小李年龄是爷爷的三分之一，可列方程：
$ x + 12 = \frac{1}{3}(5x + 12) $
两边同乘3得：$ 3(x + 12) = 5x + 12 $
展开得：$ 3x + 36 = 5x + 12 $
移项合并同类项得：$ 2x = 24 $
解得：$ x = 12 $
即今年小李的年龄是12岁。
【答案】
12岁
【知识点】
一元一次方程的应用，年龄问题
【点评】
本题是典型的年龄问题，解题关键是抓住年龄差不变的特点，通过设未知数建立一元一次方程，利用12年后的年龄关系作为等量关系求解，考查对一元一次方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
设今年小李的年龄为$ x $岁，则今年爷爷的年龄为$ 5x $岁。
根据12年后小李年龄是爷爷的三分之一，可列方程：
$ x + 12 = \frac{1}{3}(5x + 12) $
两边同乘3得：$ 3(x + 12) = 5x + 12 $
展开得：$ 3x + 36 = 5x + 12 $
移项合并同类项得：$ 2x = 24 $
解得：$ x = 12 $
即今年小李的年龄是12岁。
【答案】
12岁
【知识点】
一元一次方程的应用，年龄问题
【点评】
本题是典型的年龄问题，解题关键是抓住年龄差不变的特点，通过设未知数建立一元一次方程，利用12年后的年龄关系作为等量关系求解，考查对一元一次方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
