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6. 为了开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共 $ 50 $ 个，购买资金不超过 $ 3000 $ 元。若每个篮球 $ 80 $ 元，每个足球 $ 50 $ 元，则篮球最多可购买()
A.$ 16 $ 个
B.$ 17 $ 个
C.$ 33 $ 个
D.$ 34 $ 个
A.$ 16 $ 个
B.$ 17 $ 个
C.$ 33 $ 个
D.$ 34 $ 个
答案
A
解析
设购买篮球$x$个，则购买足球$(50 - x)$个。根据题意，得$80x + 50(50 - x) ≤ 3000$，解得$x ≤ \frac{500}{30} \approx 16.67$。因为$x$为整数，所以$x$最大取$16$。
7. 把一些书分给几名同学，若每人分 $ 5 $ 本，则书本有剩余，若，由题意设有 $ x $ 名同学，可列不等式 $ 3(x + 4) ＞ 5x $，则横线处可以是()
A.每人分 $ 3 $ 本，则剩余 $ 4 $ 本
B.每人分 $ 3 $ 本，则最后一人可多分 $ 4 $ 本
C.每人分 $ 3 $ 本比每人分 $ 5 $ 本，书多剩出 $ 4 $ 本
D.每人分 $ 3 $ 本，则可多分给 $ 4 $ 个人
A.每人分 $ 3 $ 本，则剩余 $ 4 $ 本
B.每人分 $ 3 $ 本，则最后一人可多分 $ 4 $ 本
C.每人分 $ 3 $ 本比每人分 $ 5 $ 本，书多剩出 $ 4 $ 本
D.每人分 $ 3 $ 本，则可多分给 $ 4 $ 个人
答案
D
解析
设有$x$名同学，书的总数为$y$。
“每人分5本，书本有剩余”，则$y ＞ 5x$。
不等式$3(x + 4) ＞ 5x$中，$3(x + 4)$应表示书的总数$y$。
选项D“每人分3本，则可多分给4个人”，即分给$(x + 4)$人，每人3本，书的总数$y = 3(x + 4)$，结合$y ＞ 5x$，可得$3(x + 4) ＞ 5x$，符合题意。
“每人分5本，书本有剩余”，则$y ＞ 5x$。
不等式$3(x + 4) ＞ 5x$中，$3(x + 4)$应表示书的总数$y$。
选项D“每人分3本，则可多分给4个人”，即分给$(x + 4)$人，每人3本，书的总数$y = 3(x + 4)$，结合$y ＞ 5x$，可得$3(x + 4) ＞ 5x$，符合题意。
8. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}5x - 3 ＜ 3x + 5, \\ x ＜ a\end{cases}$ 的解集是 $ x ＜ 4 $，则 $ a $ 满足的条件是( )
A.$ a ＜ 4 $
B.$ a ＞ 4 $
C.$ a ≤ 4 $
D.$ a ≥ 4 $
A.$ a ＜ 4 $
B.$ a ＞ 4 $
C.$ a ≤ 4 $
D.$ a ≥ 4 $
答案
D
解析
先解不等式$5x - 3 ＜ 3x + 5$，
移项可得$5x - 3x＜ 5 + 3$，
即$2x＜ 8$，
解得$x＜ 4$。
因为不等式组$\begin{cases}5x - 3 ＜ 3x + 5 \\x ＜ a \end{cases}$的解集是$x＜ 4$，
根据同小取小的原则，可得$a≥ 4$。
移项可得$5x - 3x＜ 5 + 3$，
即$2x＜ 8$，
解得$x＜ 4$。
因为不等式组$\begin{cases}5x - 3 ＜ 3x + 5 \\x ＜ a \end{cases}$的解集是$x＜ 4$，
根据同小取小的原则，可得$a≥ 4$。
9. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}\frac{1}{2}x - a ＞ 0, \\ 4 - 2x ≥ 0\end{cases}$ 无解，则 $ a $ 的取值范围是( )
A.$ a ＞ 1 $
B.$ a ≥ 1 $
C.$ a ＜ 1 $
D.$ a ≤ 1 $
A.$ a ＞ 1 $
B.$ a ≥ 1 $
C.$ a ＜ 1 $
D.$ a ≤ 1 $
答案
B
解析
先解不等式 $\frac{1}{2}x - a ＞ 0$，
$\frac{1}{2}x ＞ a$，
$x ＞ 2a$，
再解不等式 $4 - 2x ≥ 0$，
$-2x ≥ -4$，
$x ≤ 2$，
因为不等式组无解，所以 $2a ≥ 2$，
解得 $a ≥ 1$。
$\frac{1}{2}x ＞ a$，
$x ＞ 2a$，
再解不等式 $4 - 2x ≥ 0$，
$-2x ≥ -4$，
$x ≤ 2$，
因为不等式组无解，所以 $2a ≥ 2$，
解得 $a ≥ 1$。
10. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x ＞ m + 3, \\ 5x - 2 ＜ 4x + 1\end{cases}$ 的整数解有且仅有 $ 4 $ 个，则 $ m $ 的取值范围是( )
A.$ - 5 ≤ m ＜ - 4 $
B.$ - 5 ＜ m ≤ - 4 $
C.$ - 4 ≤ m ＜ - 3 $
D.$ - 4 ＜ m ≤ - 3 $
A.$ - 5 ≤ m ＜ - 4 $
B.$ - 5 ＜ m ≤ - 4 $
C.$ - 4 ≤ m ＜ - 3 $
D.$ - 4 ＜ m ≤ - 3 $
答案
A
解析
解不等式组$\begin{cases}x ＞ m + 3 \\ 5x - 2 ＜ 4x + 1\end{cases}$，
解第二个不等式：$5x - 2 ＜ 4x + 1$，移项得$x ＜ 3$，
故不等式组解集为$m + 3 ＜ x ＜ 3$。
因整数解有且仅有4个，小于3的整数为2，1，0，-1，-2，…，
所以整数解只能是2，1，0，-1（共4个），
则$m + 3$需满足$-2 ≤ m + 3 ＜ -1$（若$m + 3 ＜ -2$，整数解会包含-2，多于4个；若$m + 3 ≥ -1$，整数解会少于4个），
解得$-5 ≤ m ＜ -4$。
解第二个不等式：$5x - 2 ＜ 4x + 1$，移项得$x ＜ 3$，
故不等式组解集为$m + 3 ＜ x ＜ 3$。
因整数解有且仅有4个，小于3的整数为2，1，0，-1，-2，…，
所以整数解只能是2，1，0，-1（共4个），
则$m + 3$需满足$-2 ≤ m + 3 ＜ -1$（若$m + 3 ＜ -2$，整数解会包含-2，多于4个；若$m + 3 ≥ -1$，整数解会少于4个），
解得$-5 ≤ m ＜ -4$。
二、填空题
11. “$ m $ 的 $ 2 $ 倍与 $ 5 $ 的和是正数”可以用不等式表示为。
11. “$ m $ 的 $ 2 $ 倍与 $ 5 $ 的和是正数”可以用不等式表示为。
答案
$2m + 5 ＞ 0$。
12. 已知 $ y - 3x = 1 $，若 $ y ≥ - 1 $，则 $ x $ 的取值范围是。
答案
首先由已知条件 $y - 3x = 1$，可以解出 $y$ 关于 $x$ 的表达式：
$y = 3x + 1$，
接着，根据题目条件 $y ≥ -1$，将 $y$ 的表达式代入这个不等式中，得到：
$3x + 1 ≥ -1$，
然后，对这个不等式进行化简，首先移项：
$3x ≥ -2$，
最后，将系数化为1，得到 $x$ 的取值范围：
$x ≥ -\frac{2}{3}$，
故答案为：$x ≥ -\frac{2}{3}$。
$y = 3x + 1$，
接着，根据题目条件 $y ≥ -1$，将 $y$ 的表达式代入这个不等式中，得到：
$3x + 1 ≥ -1$，
然后，对这个不等式进行化简，首先移项：
$3x ≥ -2$，
最后，将系数化为1，得到 $x$ 的取值范围：
$x ≥ -\frac{2}{3}$，
故答案为：$x ≥ -\frac{2}{3}$。
