14. 在样本的频数分布直方图中,第一小组至第四小组长方形的高之比依次是 $ 2:4:3:1 $,若该样本的样本容量是 $ 50 $,则第三小组的频数为.

1. 设第一小组至第四小组的频数分别为2x、4x、3x、1x。
2. 由样本容量为50，得2x + 4x + 3x + 1x = 50，即10x = 50，解得x = 5。
3. 第三小组的频数为3x = 3×5 = 15。
15

15. 有甲、乙两种商品,若购甲 $ 2 $ 件、乙 $ 1 $ 件共需 $ 120 $ 元,若购甲 $ 1 $ 件、乙 $ 2 $ 件共需 $ 180 $ 元,则购甲、乙两种商品各 $ 1 $ 件共需元.

设购买甲商品每件需$x$元，购买乙商品每件需$y$元。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}2x + y = 120, \\x + 2y = 180.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$3x + 3y = 300$，
从上式可以解出：
$x + y = 100$，
所以，购买甲、乙两种商品各1件共需100元。
故答案为100。

16. 如图, $ ABCD $ 为一长方形纸带, $ AB// CD $,将 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠, $ A,D $ 两点分别与 $ A',D' $ 对应,若 $ ∠ 1=2∠ 2 $,则 $ ∠ AEF $ 的度数为.

因为ABCD为长方形，所以AB//CD，AD//BC。设∠2=α，则∠1=2α。
由于AB//CD，根据内错角相等，∠AEF=∠EFD=α。
由折叠性质，∠AFE=∠A'FE=∠1=2α。
因为AD为直线，∠AFE+∠EFD=180°（平角定义），即2α+α=180°，解得α=60°。
所以∠AEF=α=60°。
60°

17. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x-2≤0,\\x-a＞-1\end{cases}$ 有且只有 $ 2 $ 个整数解,则 $ a $ 的取值范围是 ______ .

解不等式组：
解$x - 2 ≤ 0$，得$x ≤ 2$；
解$x - a ＞ -1$，得$x ＞ a - 1$。
不等式组的解集为$a - 1 ＜ x ≤ 2$。
因为不等式组有且只有2个整数解，整数解为1，2。
所以$0 ≤ a - 1 ＜ 1$，
解得$1 ≤ a ＜ 2$。
1 ≤ a ＜ 2

18. 如图,在 $ △ ABC $ 中, $ AC=6,S_{△ ABC}=27 $,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,点 $ P $ 在 $ CD $ 上,且 $ \frac{BD}{AD}=\frac{CP}{PD}=2 $, $ M $ 为边 $ AC $ 上的动点,连接 $ PM $,则 $ PM $ 的最小值为.

过点B作BE⊥AC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点P作PG⊥AC于G。
∵S_△ABC=27，AC=6，
∴(1/2)×AC×BE=27，即(1/2)×6×BE=27，解得BE=9。
∵DF⊥AC，BE⊥AC，∴DF//BE，
又∵BD/AD=2，∴AD/AB=1/3，
∴△ADF∽△ABE，DF/BE=AD/AB=1/3，
∴DF=BE×(1/3)=9×(1/3)=3。
∵PG⊥AC，DF⊥AC，∴PG//DF，
又∵CP/PD=2，∴CP/CD=2/3，
∴△CPG∽△CDF，PG/DF=CP/CD=2/3，
∴PG=DF×(2/3)=3×(2/3)=2。
∵M为AC上动点，PM最小值为点P到AC的距离，即PG=2。
2