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1. 若将数据 $ 2,4,6 $ 分成两组，则组内离差平方和最小是()
A.$ 16 $
B.$ 8 $
C.$ 4 $
D.$ 2 $
A.$ 16 $
B.$ 8 $
C.$ 4 $
D.$ 2 $
答案
D
解析
将数据2,4,6分成两组，只能是一组1个数、另一组2个数，分三种情况计算组内离差平方和：
1. 分组{2}和{4,6}：{2}离差平方和=(2-2)²=0；{4,6}平均数=5，离差平方和=(4-5)²+(6-5)²=2，总离差平方和=0+2=2。
2. 分组{4}和{2,6}：{4}离差平方和=(4-4)²=0；{2,6}平均数=4，离差平方和=(2-4)²+(6-4)²=8，总离差平方和=0+8=8。
3. 分组{6}和{2,4}：{6}离差平方和=(6-6)²=0；{2,4}平均数=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=2，总离差平方和=0+2=2。
最小总离差平方和为2。
1. 分组{2}和{4,6}：{2}离差平方和=(2-2)²=0；{4,6}平均数=5，离差平方和=(4-5)²+(6-5)²=2，总离差平方和=0+2=2。
2. 分组{4}和{2,6}：{4}离差平方和=(4-4)²=0；{2,6}平均数=4，离差平方和=(2-4)²+(6-4)²=8，总离差平方和=0+8=8。
3. 分组{6}和{2,4}：{6}离差平方和=(6-6)²=0；{2,4}平均数=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=2，总离差平方和=0+2=2。
最小总离差平方和为2。
2. 数据 $ 1,3,5,7 $ 分组时，若要使组内离差平方和越小，则组内数据应满足()
A.数据差异越大
B.数据越集中
C.平均值越大
D.个数越多
A.数据差异越大
B.数据越集中
C.平均值越大
D.个数越多
答案
B
解析
组内离差平方和反映组内数据的离散程度，数据越集中，离散程度越小，组内离差平方和越小。
3. 将数据 $ 5,10,15,20 $ 分成两组，每组两个数据，则最优分组是()
A.$ (5,10) $ 和 $ (15,20) $
B.$ (5,15) $ 和 $ (10,20) $
C.$ (5,20) $ 和 $ (10,15) $
D.任意分组都一样
A.$ (5,10) $ 和 $ (15,20) $
B.$ (5,15) $ 和 $ (10,20) $
C.$ (5,20) $ 和 $ (10,15) $
D.任意分组都一样
答案
A
解析
计算各选项两组数据的平均数和方差。原数据平均数为12.5。选项A：两组平均数分别为7.5、17.5，方差分别为( (5-7.5)²+(10-7.5)² )/2=6.25，( (15-17.5)²+(20-17.5)² )/2=6.25，总方差为6.25；选项B：两组平均数分别为10、15，方差分别为( (5-10)²+(15-10)² )/2=25，( (10-15)²+(20-15)² )/2=25，总方差为25；选项C：两组平均数均为12.5，方差分别为( (5-12.5)²+(20-12.5)² )/2=56.25，( (10-12.5)²+(15-12.5)² )/2=6.25，总方差为(56.25+6.25)/2=31.25。总方差最小的是选项A，故最优分组为A。
4. 数据 $ 3,5,7,9,11 $ 的离差平方和等于。
答案
1. 首先求这组数据的平均数$\bar{x}$：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+··· +x_{n}}{n}$，对于数据$3,5,7,9,11$，$n = 5$，$\bar{x}=\frac{3 + 5+7+9+11}{5}=\frac{35}{5}=7$。
2. 然后求离差平方和：
根据离差平方和公式$\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$，则$(3 - 7)^{2}+(5 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(9 - 7)^{2}+(11 - 7)^{2}$
$=(-4)^{2}+(-2)^{2}+0^{2}+2^{2}+4^{2}$
$=16 + 4+0 + 4+16$
$=40$。
所以，离差平方和等于$40$。
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+··· +x_{n}}{n}$，对于数据$3,5,7,9,11$，$n = 5$，$\bar{x}=\frac{3 + 5+7+9+11}{5}=\frac{35}{5}=7$。
2. 然后求离差平方和：
根据离差平方和公式$\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$，则$(3 - 7)^{2}+(5 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(9 - 7)^{2}+(11 - 7)^{2}$
$=(-4)^{2}+(-2)^{2}+0^{2}+2^{2}+4^{2}$
$=16 + 4+0 + 4+16$
$=40$。
所以，离差平方和等于$40$。
5. 将数据 $ 1,2,3,4 $ 分成两组，每组两个数据，则组内离差平方和最小是。
答案
1. 列出所有分组情况：
情况1：{1,2}和{3,4}
情况2：{1,3}和{2,4}
情况3：{1,4}和{2,3}
2. 计算各组离差平方和：
情况1：
组1{1,2}：平均数=1.5，离差平方和=(1-1.5)²+(2-1.5)²=0.25+0.25=0.5；
组2{3,4}：平均数=3.5，离差平方和=(3-3.5)²+(4-3.5)²=0.25+0.25=0.5；
总离差平方和=0.5+0.5=1。
情况2：
组1{1,3}：平均数=2，离差平方和=(1-2)²+(3-2)²=1+1=2；
组2{2,4}：平均数=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=1+1=2；
总离差平方和=2+2=4。
情况3：
组1{1,4}：平均数=2.5，离差平方和=(1-2.5)²+(4-2.5)²=2.25+2.25=4.5；
组2{2,3}：平均数=2.5，离差平方和=(2-2.5)²+(3-2.5)²=0.25+0.25=0.5；
总离差平方和=4.5+0.5=5。
3. 比较得最小总离差平方和为1。
1
情况1：{1,2}和{3,4}
情况2：{1,3}和{2,4}
情况3：{1,4}和{2,3}
2. 计算各组离差平方和：
情况1：
组1{1,2}：平均数=1.5，离差平方和=(1-1.5)²+(2-1.5)²=0.25+0.25=0.5；
组2{3,4}：平均数=3.5，离差平方和=(3-3.5)²+(4-3.5)²=0.25+0.25=0.5；
总离差平方和=0.5+0.5=1。
情况2：
组1{1,3}：平均数=2，离差平方和=(1-2)²+(3-2)²=1+1=2；
组2{2,4}：平均数=3，离差平方和=(2-3)²+(4-3)²=1+1=2；
总离差平方和=2+2=4。
情况3：
组1{1,4}：平均数=2.5，离差平方和=(1-2.5)²+(4-2.5)²=2.25+2.25=4.5；
组2{2,3}：平均数=2.5，离差平方和=(2-2.5)²+(3-2.5)²=0.25+0.25=0.5；
总离差平方和=4.5+0.5=5。
3. 比较得最小总离差平方和为1。
1
6. 将数据 $ 6,8,10,12,14 $ 分成两组，其中一组为 $ (6,8,10) $，则另一组的离差平方和为。
答案
另一组数据为(12,14)。
先求该组数据的平均数：$\bar{x} = \frac{12 + 14}{2} = 13$。
离差平方和为：$(12 - 13)^2 + (14 - 13)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$。
2
先求该组数据的平均数：$\bar{x} = \frac{12 + 14}{2} = 13$。
离差平方和为：$(12 - 13)^2 + (14 - 13)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$。
2
