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7. 某班 $ 4 $ 名同学的数学成绩(单位：分)分别为 $ 90,100,85,95 $。请根据组内离差平方和最小的原则，把这 $ 4 $ 个成绩数据分为两组，并说明理由。
答案
分组方式：{85,90}和{95,100}
理由：
1. 分组类型1（1个数据+3个数据）
任取1个数据为一组，其余3个为另一组，计算组内离差平方和总和：
如{100}和{85,90,95}：3个数据组平均数90，离差平方和=0²+(85-90)²+(95-90)²=50；
如{85}和{90,95,100}：3个数据组平均数95，离差平方和=(90-95)²+0²+(100-95)²=50；
其他1+3分组离差平方和均为≈116.67，最小为50。
2. 分组类型2（2个数据+2个数据）
所有可能分组及离差平方和总和：
{90,100}和{85,95}：(90-95)²+(100-95)²+(85-90)²+(95-90)²=50+50=100；
{85,90}和{95,100}：(85-87.5)²+(90-87.5)²+(95-97.5)²+(100-97.5)²=12.5+12.5=25；
{85,100}和{90,95}：(85-92.5)²+(100-92.5)²+(90-92.5)²+(95-92.5)²=112.5+12.5=125；
最小总和为25。
3. 比较：25＜50，故{85,90}和{95,100}的组内离差平方和最小。
结论：分组为{85,90}和{95,100}。
理由：
1. 分组类型1（1个数据+3个数据）
任取1个数据为一组，其余3个为另一组，计算组内离差平方和总和：
如{100}和{85,90,95}：3个数据组平均数90，离差平方和=0²+(85-90)²+(95-90)²=50；
如{85}和{90,95,100}：3个数据组平均数95，离差平方和=(90-95)²+0²+(100-95)²=50；
其他1+3分组离差平方和均为≈116.67，最小为50。
2. 分组类型2（2个数据+2个数据）
所有可能分组及离差平方和总和：
{90,100}和{85,95}：(90-95)²+(100-95)²+(85-90)²+(95-90)²=50+50=100；
{85,90}和{95,100}：(85-87.5)²+(90-87.5)²+(95-97.5)²+(100-97.5)²=12.5+12.5=25；
{85,100}和{90,95}：(85-92.5)²+(100-92.5)²+(90-92.5)²+(95-92.5)²=112.5+12.5=125；
最小总和为25。
3. 比较：25＜50，故{85,90}和{95,100}的组内离差平方和最小。
结论：分组为{85,90}和{95,100}。
8. 某物流公司有 $ 6 $ 批货物的质量(单位：$ \mathrm{kg} $)如下：$ 10,12,15,18,20,22 $，物流公司要将它们分成两组运输，每组总质量不超过 $ 55 \mathrm{ kg} $。请在满足限制的前提下，找出组内离差平方和最小的分组方案。
答案
答题卡作答：
可能的分组方案及计算组内离差平方和：
方案一：一组为$10,12,20,22$，总质量为$10 + 12+20 + 22 = 64＞55$（不符合条件，舍去）。
方案二：一组为$10,12,18,22$，总质量为$10+12 + 18+22 = 62＞55$（不符合条件，舍去）。
方案三：一组为$10,12,15,20$，总质量为$10+12 + 15+20 = 57＞55$（不符合条件，舍去）。
方案四：一组为$10,15,20$，总质量为$10 + 15+20 = 45＜55$；另一组为$12,18,22$，总质量为$12+18 + 22 = 52＜55$。
第一组离差平方和为$(10 - 15)^2+(15 - 15)^2+(20 - 15)^2=25 + 0+25 = 50$；
第二组离差平方和为$(12 - 17（这里12、18、22平均数为\frac{12 + 18+22}{3}=\frac{52}{3}\approx17）近似计算误差，精确计算为(12-\frac{12 + 18+22}{3})^2+(18-\frac{12 + 18+22}{3})^2+(22-\frac{12 + 18+22}{3})^2=(12-\frac{52}{3})^2+(18-\frac{52}{3})^2+(22-\frac{52}{3})^2=(\frac{36 - 52}{3})^2+(\frac{54 - 52}{3})^2+(\frac{66 - 52}{3})^2=\frac{256 + 4+196}{9}=\frac{456}{9}\approx50.67$，精确计算离差平方和：
设平均数$\overline{x}=\frac{12 + 18+22}{3}=\frac{52}{3}$，根据离差平方和公式$\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2$，$(12-\frac{52}{3})^2+ (18-\frac{52}{3})^2+(22-\frac{52}{3})^2=\frac{(-16)^2+2^2 + 14^2}{9}=\frac{256 + 4+196}{9}=\frac{456}{9}=\frac{152}{3}\approx50.67$；总离差平方和约为$50+ \frac{152}{3}=\frac{150 + 152}{3}=\frac{302}{3}\approx100.67$。
方案五：一组为$10,12,15,18$，总质量为$10+12 + 15+18 = 55＜55$；另一组为$20,22$，总质量为$20 + 22 = 42＜55$。
第一组离差平方和：平均数$\overline{x_1}=\frac{10 + 12+15+18}{4}=\frac{55}{4}=13.75$，离差平方和$(10 - 13.75)^2+(12 - 13.75)^2+(15 - 13.75)^2+(18 - 13.75)^2=(-3.75)^2+(-1.75)^2+1.25^2+4.25^2 = 14.0625+3.0625+1.5625+18.0625 = 36.75$；
第二组离差平方和：平均数$\overline{x_2}=\frac{20+22}{2}=21$，离差平方和$(20 - 21)^2+(22 - 21)^2=1 + 1 = 2$；
总离差平方和为$36.75+2 = 38.75$。
因为$38.75＜100.67$，所以最佳分组方案为一组是$10,12,15,18$，另一组是$20,22$。
可能的分组方案及计算组内离差平方和：
方案一：一组为$10,12,20,22$，总质量为$10 + 12+20 + 22 = 64＞55$（不符合条件，舍去）。
方案二：一组为$10,12,18,22$，总质量为$10+12 + 18+22 = 62＞55$（不符合条件，舍去）。
方案三：一组为$10,12,15,20$，总质量为$10+12 + 15+20 = 57＞55$（不符合条件，舍去）。
方案四：一组为$10,15,20$，总质量为$10 + 15+20 = 45＜55$；另一组为$12,18,22$，总质量为$12+18 + 22 = 52＜55$。
第一组离差平方和为$(10 - 15)^2+(15 - 15)^2+(20 - 15)^2=25 + 0+25 = 50$；
第二组离差平方和为$(12 - 17（这里12、18、22平均数为\frac{12 + 18+22}{3}=\frac{52}{3}\approx17）近似计算误差，精确计算为(12-\frac{12 + 18+22}{3})^2+(18-\frac{12 + 18+22}{3})^2+(22-\frac{12 + 18+22}{3})^2=(12-\frac{52}{3})^2+(18-\frac{52}{3})^2+(22-\frac{52}{3})^2=(\frac{36 - 52}{3})^2+(\frac{54 - 52}{3})^2+(\frac{66 - 52}{3})^2=\frac{256 + 4+196}{9}=\frac{456}{9}\approx50.67$，精确计算离差平方和：
设平均数$\overline{x}=\frac{12 + 18+22}{3}=\frac{52}{3}$，根据离差平方和公式$\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2$，$(12-\frac{52}{3})^2+ (18-\frac{52}{3})^2+(22-\frac{52}{3})^2=\frac{(-16)^2+2^2 + 14^2}{9}=\frac{256 + 4+196}{9}=\frac{456}{9}=\frac{152}{3}\approx50.67$；总离差平方和约为$50+ \frac{152}{3}=\frac{150 + 152}{3}=\frac{302}{3}\approx100.67$。
方案五：一组为$10,12,15,18$，总质量为$10+12 + 15+18 = 55＜55$；另一组为$20,22$，总质量为$20 + 22 = 42＜55$。
第一组离差平方和：平均数$\overline{x_1}=\frac{10 + 12+15+18}{4}=\frac{55}{4}=13.75$，离差平方和$(10 - 13.75)^2+(12 - 13.75)^2+(15 - 13.75)^2+(18 - 13.75)^2=(-3.75)^2+(-1.75)^2+1.25^2+4.25^2 = 14.0625+3.0625+1.5625+18.0625 = 36.75$；
第二组离差平方和：平均数$\overline{x_2}=\frac{20+22}{2}=21$，离差平方和$(20 - 21)^2+(22 - 21)^2=1 + 1 = 2$；
总离差平方和为$36.75+2 = 38.75$。
因为$38.75＜100.67$，所以最佳分组方案为一组是$10,12,15,18$，另一组是$20,22$。
