19. 解二元一次方程组：$\begin{cases}2x - 3y = 6,\\x + 2y = 10.\end{cases}$

由方程组$\begin{cases}2x - 3y = 6, ① \\x + 2y = 10. ②\end{cases}$
由$② × 2 - ①$得：
$2(x + 2y) - (2x - 3y) = 2×10 - 6$
$2x + 4y - 2x + 3y = 20 - 6$
$7y = 14$
$y = 2$
将 $y = 2$ 代入$②$得：
$x + 2×2 = 10$
$x + 4 = 10$
$x = 6$
因此，方程组的解为$\begin{cases}x = 6, \\y = 2.\end{cases}$

20. 解不等式组$\begin{cases}4(x + 1)＞x - 2,\\\dfrac{x + 7}{3}＞x,\end{cases}$并写出它的整数解.

整数解为$-1, 0, 1, 2, 3$

解不等式组：
$\begin{cases}4(x + 1) ＞ x - 2, \\\dfrac{x + 7}{3} ＞ x\end{cases}$
解第一个不等式：
$4(x + 1) ＞ x - 2$
$4x + 4 ＞ x - 2$
$4x - x ＞ -2 - 4$
$3x ＞ -6$
$x ＞ -2$
解第二个不等式：
$\dfrac{x + 7}{3} ＞ x$
$x + 7 ＞ 3x$
$7 ＞ 3x - x$
$7 ＞ 2x$
$x ＜ \dfrac{7}{2}$（即$x ＜ 3.5$）
不等式组的解集：
$-2 ＜ x ＜ 3.5$
整数解：
$-1, 0, 1, 2, 3$

21. 已知一个整数的平方能被 2 整除. 求证：这个数是偶数.

设这个整数为$n$，
假设$n$不是偶数，则$n$为奇数，
设$n = 2k + 1$，其中$k$为整数。
根据平方的计算公式，有：
$n^{2} = (2k + 1)^{2}$
$= 4k^{2} + 4k + 1$
$= 2(2k^{2} + 2k) + 1$
由于$2k^{2} + 2k$为整数，所以$2(2k^{2} + 2k)$为偶数，
根据偶数与奇数的和为奇数，有：
$n^{2} = 2(2k^{2} + 2k) + 1$为奇数，
这与题目给出的$n^{2}$能被2整除（即$n^{2}$为偶数）相矛盾，
因此，假设$n$不是偶数不成立，
所以，这个整数$n$是偶数。