例4 (1)一种豆子每千克售价 $ 2 $ 元，豆子总的售价 $ y $ (元)与所售豆子的质量 $ x $ (kg)之间的函数关系可以表示成.
(2)根据上面的函数解析式，给出 $ x $ 一个值，就能算出 $ y $ 的一个相应的值. 请你完成下表：

(3)把 $ x $ 与 $ y $ 作为一对有序实数对，请你在坐标平面内描出上表中所得到的每一对有序实数 $ (x, y) $ 对相应的点.
(4)用线把上述的点连起来看看是什么图形.

(1) $y = 2x$.
(2)
| $x$ | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(3) 描点：$(0,0), (0.5,1), (1,2), (1.5,3), (2,4), (2.5,5), (3,6)$.
(4) 连线后是一条过原点的直线.

巩固提升 画出函数 $ y = -2x + 1 $ 的图象.
(1)判断点 $ A(-1, 3) $，$ B(-1, -3) $ 是否在此函数的图象上；
(2)已知点 $ C(\frac{1}{4}m, m) $ 在此函数的图象上，求 $ m $ 的值.

(1) 点 $ A $ 在图象上，点 $ B $ 不在图象上；
(2) $ m = \frac{2}{3} $。

函数 $ y = -2x + 1 $ 的图象绘制步骤：
1. 列表：
取 $ x = 0 $，则 $ y = 1 $；取 $ y = 0 $，则 $ x = 0.5 $。
列表如下：
| $ x $ | $ 0 $ | $ 0.5 $ |
|--------|--------|----------|
| $ y $ | $ 1 $ | $ 0 $ |
2. 描点：在平面直角坐标系中描出点 $ (0, 1) $ 和 $ (0.5, 0) $。
3. 连线：过两点画直线，即得函数 $ y = -2x + 1 $ 的图象。
(1) 判断点是否在函数图象上：
点 $ A(-1, 3) $：
将 $ x = -1 $ 代入 $ y = -2x + 1 $，得 $ y = -2(-1) + 1 = 3 $。
因为 $ y = 3 $ 与点 $ A $ 的纵坐标相等，所以点 $ A $ 在函数图象上。
点 $ B(-1, -3) $：
由上可知，当 $ x = -1 $ 时，$ y = 3 ≠ -3 $，所以点 $ B $ 不在函数图象上。
(2) 求 $ m $ 的值：
因为点 $ C(\frac{1}{4}m, m) $ 在函数图象上，
所以将 $ x = \frac{1}{4}m $，$ y = m $ 代入 $ y = -2x + 1 $，得：
$ m = -2(\frac{1}{4}m) + 1 $
$ m = -\frac{1}{2}m + 1 $
$ m + \frac{1}{2}m = 1 $
$ \frac{3}{2}m = 1 $
$ m = \frac{2}{3} $

1. 在 $ y = \frac{x}{\sqrt{2x + 6}} $ 中，$ x $ 的取值范围为.

$ x ＞ -3 $

要使分式 $ y = \frac{x}{\sqrt{2x + 6}} $ 有意义，需满足以下条件：
1. 分母不为零：$ \sqrt{2x + 6} ≠ 0 $，即 $ 2x + 6 ≠ 0 $，解得 $ x ≠ -3 $；
2. 根号内非负：$ 2x + 6 ＞ 0 $，解得 $ x ＞ -3 $；
综合以上条件，$ x $ 的取值范围为 $ x ＞ -3 $。

2. 某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是()


A.修车时间为 $ 15 $ min
B.学校离家的距离为 $ 2000 $ m
C.到达学校时共用时间 $ 20 $ min
D.自行车发生故障时离家距离为 $ 1000 $ m

A

从图中可以看出：
小明修车的时间是从第10分钟到第15分钟，即修车时间为5分钟，所以选项A中的“修车时间为15分钟”是错误的。
学校离家的距离为2000米，选项B是正确的。
到达学校时共用时间20分钟，选项C是正确的。
自行车发生故障时离家距离为1000米，选项D是正确的。

3. 已知 $ A $，$ B $ 两地相距 $ 1200 $ m，甲、乙两人均从 $ A $ 地出发，向 $ B $ 地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发 $ 3 $ min，如图是甲、乙两人之间的距离 $ y $ (m)和甲出发的时间 $ x $ (min)之间的关系，现有如下结论：

①乙每分钟比甲多走 $ 10 $ m；
②乙用 $ 18 $ min 追上了甲；
③乙比甲早 $ 1 $ min 到达终点 $ B $；
④图中点 $ Q $ 的坐标为 $ (24, 50) $.
上述结论中正确的有()

A.①③
B.①④
C.①③④
D.①②③

A

1. 求甲、乙速度：甲先出发3分钟，此阶段乙未出发，甲走150m，故甲速$v_{甲}=150÷3=50m/min$。乙出发后，18min时追上甲，此时甲运动18min，路程$50×18=900m$；乙运动$18-3=15min$，故乙速$v_{乙}=900÷15=60m/min$。乙比甲快$60-50=10m/min$，①正确。
2. 乙追上甲的时间：乙运动时间为$18-3=15min$，非18min，②错误。
3. 到达终点时间：甲到B地时间$1200÷50=24min$；乙到B地时间$1200÷60=20min$，乙出发时间为甲出发后3min，故乙到达时间为$3+20=23min$。乙比甲早$24-23=1min$，③正确。
4. 点Q坐标：乙23min到达B地停止，此时甲运动23min，路程$50×23=1150m$，距离$1200-1150=50m$，故Q点为$(23,50)$，④错误。