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1. 下列说法中，正确的是()
A.$3a$一定大于$2a$
B.$\frac{3}{4}a$一定大于$a$
C.$a + b$一定大于$a - b$
D.$a^{2}+1$一定不小于$-2a$
A.$3a$一定大于$2a$
B.$\frac{3}{4}a$一定大于$a$
C.$a + b$一定大于$a - b$
D.$a^{2}+1$一定不小于$-2a$
答案
D
解析
A选项：当$a$为正数时，$3a$确实大于$2a$，但当$a=0$时，$3a=2a=0$，所以$3a$不一定大于$2a$，故A选项错误。
B选项：当$a$为正数时，$\frac{3}{4}a$小于$a$，当$a=0$时，$\frac{3}{4}a=a=0$，所以$\frac{3}{4}a$不一定大于$a$，故B选项错误。
C选项：取特殊值法，当$a=1，b=0$时，$a+b=a-b$，所以$a+b$不一定大于$a-b$，故C选项错误。
D选项：考虑$a^{2}+1+2a=(a+1)^{2} ≥ 0$，所以$a^{2}+1$一定不小于$-2a$，故D选项正确。
B选项：当$a$为正数时，$\frac{3}{4}a$小于$a$，当$a=0$时，$\frac{3}{4}a=a=0$，所以$\frac{3}{4}a$不一定大于$a$，故B选项错误。
C选项：取特殊值法，当$a=1，b=0$时，$a+b=a-b$，所以$a+b$不一定大于$a-b$，故C选项错误。
D选项：考虑$a^{2}+1+2a=(a+1)^{2} ≥ 0$，所以$a^{2}+1$一定不小于$-2a$，故D选项正确。
2. 若一个不等式与不等式$5x＞8 + 2x$组成的不等式组的解集为$\frac{8}{3}＜x＜5$，则这个不等式可能是()
A.$x + 5＜0$
B.$2x＞10$
C.$3x - 15＜0$
D.$-x - 5＞0$
A.$x + 5＜0$
B.$2x＞10$
C.$3x - 15＜0$
D.$-x - 5＞0$
答案
C
解析
解不等式 $5x ＞ 8 + 2x$，得：$3x ＞ 8$，即 $x ＞ \frac{8}{3}$。
题目给出不等式组的解集为 $\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$，则另一个不等式的解集必须满足 $x＜5$。
分别将选项与$x ＞ \frac{8}{3}$，组成不等式组：
A. $x + 5 ＜ 0$，解得$x ＜ -5$，与 $x ＞ \frac{8}{3}$，无公共解，不符合题意。
B. $2x ＞ 10$，解得$x＞5$，与 $x ＞ \frac{8}{3}$，组成不等式组的解集为$x＞5$，不符合题意。
C. $3x - 15 ＜ 0$，解得$x ＜ 5$，与 $x ＞ \frac{8}{3}$，组成不等式组的解集为$\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$，符合题意。
D. $-x - 5 ＞ 0$，解得$x ＜ -5$，与 $x ＞ \frac{8}{3}$，无公共解，不符合题意。
题目给出不等式组的解集为 $\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$，则另一个不等式的解集必须满足 $x＜5$。
分别将选项与$x ＞ \frac{8}{3}$，组成不等式组：
A. $x + 5 ＜ 0$，解得$x ＜ -5$，与 $x ＞ \frac{8}{3}$，无公共解，不符合题意。
B. $2x ＞ 10$，解得$x＞5$，与 $x ＞ \frac{8}{3}$，组成不等式组的解集为$x＞5$，不符合题意。
C. $3x - 15 ＜ 0$，解得$x ＜ 5$，与 $x ＞ \frac{8}{3}$，组成不等式组的解集为$\frac{8}{3} ＜ x ＜ 5$，符合题意。
D. $-x - 5 ＞ 0$，解得$x ＜ -5$，与 $x ＞ \frac{8}{3}$，无公共解，不符合题意。
3. 已知$a + 2＜0$，则下列结论正确的是()
A.$-2＜a＜-a＜2$
B.$a＜-2＜2＜-a$
C.$a＜-2＜-a＜2$
D.$-2＜a＜2＜-a$
A.$-2＜a＜-a＜2$
B.$a＜-2＜2＜-a$
C.$a＜-2＜-a＜2$
D.$-2＜a＜2＜-a$
答案
B
解析
由$a + 2＜0$，得$a＜-2$。两边乘$-1$，不等号方向改变，得$-a＞2$，即$-a＞2$。所以$a＜-2＜2＜-a$。
4. 若不等式组$\begin{cases}x + a＜0,\\x - 5＜0\end{cases}$的解集为$x＜5$，则$a$的取值范围为( )
A.$a≤ -5$
B.$a≥ -5$
C.$a＞-5$
D.$a = -5$
A.$a≤ -5$
B.$a≥ -5$
C.$a＞-5$
D.$a = -5$
答案
A
解析
解不等式$x + a＜0$，得$x＜-a$；解不等式$x - 5＜0$，得$x＜5$。因为不等式组的解集为$x＜5$，所以$-a≥5$，即$a≤ -5$。
5. 某种袜子原零售价每双5元，凡购买3双以上(含三双)，商场有两种优惠销售办法：第一种是“两双按原价，其余按原价七折优惠”，第二种是“全部按原价的八折优惠”，你在购买相同数量的情况下要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买袜子()
A.5双
B.6双
C.7双
D.8双
A.5双
B.6双
C.7双
D.8双
答案
C
解析
设购买$x$双袜子，且$x ≥ 3$。
第一种优惠办法的费用为：$2 × 5 + (x - 2) × 5 × 0.7 = 10 + 3.5x - 7 = 3.5x + 3$，
第二种优惠办法的费用为：$0.8 × 5x = 4x$，
要求第一种办法比第二种办法得到的优惠多，即：$3.5x + 3 ＜ 4x$，
移项并化简得：$0.5x ＞ 3$，
解得：$x ＞ 6$，
由于$x$必须是正整数且$x ≥ 3$，所以最小的$x$为7。
第一种优惠办法的费用为：$2 × 5 + (x - 2) × 5 × 0.7 = 10 + 3.5x - 7 = 3.5x + 3$，
第二种优惠办法的费用为：$0.8 × 5x = 4x$，
要求第一种办法比第二种办法得到的优惠多，即：$3.5x + 3 ＜ 4x$，
移项并化简得：$0.5x ＞ 3$，
解得：$x ＞ 6$，
由于$x$必须是正整数且$x ≥ 3$，所以最小的$x$为7。
6. 请你写出一个有且只有三个正整数解的不等式：.
答案
设不等式为 $x＜ a$，要使不等式有且只有三个正整数解，则这三个正整数解为 $1$，$2$，$3$，所以 $3＜ a≤4$，取 $a = 4$，该不等式可以为 $x＜4$。
故答案为：$x＜4$（答案不唯一）。
故答案为：$x＜4$（答案不唯一）。
7. 不等式$1 + x≥ 2 - 3x$的解集是.
答案
$1 + x ≥ 2 - 3x$，
移项可得：
$x + 3x ≥ 2 - 1$，
合并同类项可得：
$4x ≥ 1$，
系数化为$1$，两边同时除以$4$，不等号方向不变，得到：
$x ≥ \frac{1}{4}$。
故答案为$x ≥ \frac{1}{4}$。
移项可得：
$x + 3x ≥ 2 - 1$，
合并同类项可得：
$4x ≥ 1$，
系数化为$1$，两边同时除以$4$，不等号方向不变，得到：
$x ≥ \frac{1}{4}$。
故答案为$x ≥ \frac{1}{4}$。
8. 不等式$2x - 1＞3$的最小整数解是.
答案
$2x - 1＞3$，
移项得：$2x＞3 + 1$，
合并同类项得：$2x＞4$，
系数化为$1$得：$x＞2$。
所以最小整数解为$3$，
故答案为$3$。
移项得：$2x＞3 + 1$，
合并同类项得：$2x＞4$，
系数化为$1$得：$x＞2$。
所以最小整数解为$3$，
故答案为$3$。
9. 如果不等式组$\begin{cases}x + 5＜4x - 1,\\x＞2m - 1\end{cases}$的解集是$x＞2$，则$m$的取值范围是 ______ .
答案
解：先解不等式$x + 5 ＜ 4x - 1$，
移项可得$x - 4x＜ -1 - 5$，
合并同类项得$-3x＜ -6$，
两边同时除以$-3$，不等号变向，解得$x＞ 2$。
因为不等式组$\begin{cases}x + 5＜ 4x - 1\\x＞ 2m - 1\end{cases}$的解集是$x＞ 2$，
根据同大取大的原则，可知$2m - 1≤ 2$，
移项可得$2m≤ 2 + 1$，
即$ 2m≤ 3$，
两边同时除以$2$，解得$m≤ \frac{3}{2}$。
故答案为：$m≤ \frac{3}{2}$。
移项可得$x - 4x＜ -1 - 5$，
合并同类项得$-3x＜ -6$，
两边同时除以$-3$，不等号变向，解得$x＞ 2$。
因为不等式组$\begin{cases}x + 5＜ 4x - 1\\x＞ 2m - 1\end{cases}$的解集是$x＞ 2$，
根据同大取大的原则，可知$2m - 1≤ 2$，
移项可得$2m≤ 2 + 1$，
即$ 2m≤ 3$，
两边同时除以$2$，解得$m≤ \frac{3}{2}$。
故答案为：$m≤ \frac{3}{2}$。
10. 如果不等式组$\begin{cases}x＜9,\\x＞m\end{cases}$有解，那么$m$的取值范围是 ______ .
答案
$m＜9$
解析
要使不等式组$\begin{cases}x＜9 \\ x＞m\end{cases}$有解，根据“大小小大中间找”的原则，$m$必须小于$9$。
当$m = 9$时，不等式组变为$\begin{cases}x＜9 \\ x＞9\end{cases}$，此时无解；当$m＞9$时，$x$既要大于一个较大的数$m$又要小于$9$，也无解；只有当$m＜9$时，不等式组才有解。
故$m$的取值范围是$m＜9$。
当$m = 9$时，不等式组变为$\begin{cases}x＜9 \\ x＞9\end{cases}$，此时无解；当$m＞9$时，$x$既要大于一个较大的数$m$又要小于$9$，也无解；只有当$m＜9$时，不等式组才有解。
故$m$的取值范围是$m＜9$。
11. 商家花费564元购进某种水果50kg，销售中有6%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为元/kg.
答案
设售价至少应定为$x$元/kg。
根据题意，实际可销售的水果重量为$50 × (1 - 6\%) = 50 × 0.94 = 47(kg)$。
则销售总额为$47x$元，为避免亏本，则需满足：
$47x ≥ 564$。
$x ≥ \frac{564}{47}$。
$x ≥ 12$。
故答案为$12$。
根据题意，实际可销售的水果重量为$50 × (1 - 6\%) = 50 × 0.94 = 47(kg)$。
则销售总额为$47x$元，为避免亏本，则需满足：
$47x ≥ 564$。
$x ≥ \frac{564}{47}$。
$x ≥ 12$。
故答案为$12$。
