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13. (6 分)为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时 $24\ \mathrm{s}$，整列火车完全在隧道内的时间为 $16\ \mathrm{s}$，整列火车长 $240\ \mathrm{m}$.请你根据小明和小亮获得的数据，求出隧道的长度和火车过隧道的速度.
答案
设隧道长度为$ L $米，火车速度为$ v $米/秒。
根据题意：
1. 火车从开始入隧道到完全出隧道行驶的路程为$ L + 240 $米，用时24秒，可得方程：$ 24v = L + 240 $；
2. 整列火车完全在隧道内行驶的路程为$ L - 240 $米，用时16秒，可得方程：$ 16v = L - 240 $。
联立方程组：
$\begin{cases}24v = L + 240 \\16v = L - 240\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：$ 24v - 16v = (L + 240) - (L - 240) $，即$ 8v = 480 $，解得$ v = 60 $。
将$ v = 60 $代入$ 16v = L - 240 $：$ 16×60 = L - 240 $，解得$ L = 1200 $。
答：隧道长度为1200米，火车过隧道的速度为60米/秒。
根据题意：
1. 火车从开始入隧道到完全出隧道行驶的路程为$ L + 240 $米，用时24秒，可得方程：$ 24v = L + 240 $；
2. 整列火车完全在隧道内行驶的路程为$ L - 240 $米，用时16秒，可得方程：$ 16v = L - 240 $。
联立方程组：
$\begin{cases}24v = L + 240 \\16v = L - 240\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：$ 24v - 16v = (L + 240) - (L - 240) $，即$ 8v = 480 $，解得$ v = 60 $。
将$ v = 60 $代入$ 16v = L - 240 $：$ 16×60 = L - 240 $，解得$ L = 1200 $。
答：隧道长度为1200米，火车过隧道的速度为60米/秒。
14. (8 分)某牛奶加工厂现有鲜奶 $16\ \mathrm{t}$，若在市场上直接销售，每吨利润为 300 元；制成酸奶销售，每吨利润为 1 200 元；制成奶片销售，每吨利润为 2 000 元.该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工 $4\ \mathrm{t}$ 鲜奶，制成奶片每天可加工 $2\ \mathrm{t}$ 鲜奶.受人员限制，两种加工方式不能同时进行.受气温条件限制，这批牛奶必须在 6 天内全部加工完毕.因此，该加工厂设计了两种可行性方案：
方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，恰好 6 天完成.
你认为选择哪种方案能够获得的利润最多？为什么？
方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，恰好 6 天完成.
你认为选择哪种方案能够获得的利润最多？为什么？
答案
选择方案二，利润为25600元。
解析
方案一：
尽可能多地制成奶片，奶片每天加工2t，6天可加工奶片：$2×6=12\ \mathrm{t}$。
剩余鲜奶：$16 - 12=4\ \mathrm{t}$，直接销售。
利润：$12×2000 + 4×300=24000 + 1200=25200$元。
方案二：
设制成奶片用$x$天，则制成酸奶用$(6 - x)$天。
奶片加工量：$2x\ \mathrm{t}$，酸奶加工量：$4(6 - x)\ \mathrm{t}$。
依题意：$2x + 4(6 - x)=16$，
解得：$2x + 24 - 4x=16⇒ -2x=-8⇒ x=4$。
奶片加工量：$2×4=8\ \mathrm{t}$，酸奶加工量：$4×(6 - 4)=8\ \mathrm{t}$。
利润：$8×2000 + 8×1200=16000 + 9600=25600$元。
结论：
$25600＞25200$，选择方案二利润最多。
尽可能多地制成奶片，奶片每天加工2t，6天可加工奶片：$2×6=12\ \mathrm{t}$。
剩余鲜奶：$16 - 12=4\ \mathrm{t}$，直接销售。
利润：$12×2000 + 4×300=24000 + 1200=25200$元。
方案二：
设制成奶片用$x$天，则制成酸奶用$(6 - x)$天。
奶片加工量：$2x\ \mathrm{t}$，酸奶加工量：$4(6 - x)\ \mathrm{t}$。
依题意：$2x + 4(6 - x)=16$，
解得：$2x + 24 - 4x=16⇒ -2x=-8⇒ x=4$。
奶片加工量：$2×4=8\ \mathrm{t}$，酸奶加工量：$4×(6 - 4)=8\ \mathrm{t}$。
利润：$8×2000 + 8×1200=16000 + 9600=25600$元。
结论：
$25600＞25200$，选择方案二利润最多。
15. (10 分)已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}x + 3y = 10,\\x - 3y + mx + 2 = 0.\end{cases}$
(1)请写出方程 $x + 3y = 10$ 的所有正整数解.
(2)若方程组的解满足 $2x - 3y = 2$，求 $m$ 的值.
(3)无论 $m$ 取何值，方程 $x - 3y + mx + 2 = 0$ 总有同一个解，请求出这个解.
(1)请写出方程 $x + 3y = 10$ 的所有正整数解.
(2)若方程组的解满足 $2x - 3y = 2$，求 $m$ 的值.
(3)无论 $m$ 取何值，方程 $x - 3y + mx + 2 = 0$ 总有同一个解，请求出这个解.
答案
(1)由$x + 3y = 10$得$x = 10 - 3y$，$x$，$y$为正整数，$\therefore 10 - 3y ＞ 0$，$y ＜ \frac{10}{3}$，$y = 1,2,3$。
当$y = 1$时，$x = 7$；当$y = 2$时，$x = 4$；当$y = 3$时，$x = 1$。
正整数解为$\begin{cases}x=7\\y=1\end{cases}$，$\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}$，$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
(2)联立$\begin{cases}x + 3y = 10\\2x - 3y = 2\end{cases}$，两式相加得$3x = 12$，$x = 4$，代入$x + 3y = 10$得$4 + 3y = 10$，$y = 2$。
将$x = 4$，$y = 2$代入$x - 3y + mx + 2 = 0$：$4 - 6 + 4m + 2 = 0$，$4m = 0$，$m = 0$。
(3)方程$x - 3y + mx + 2 = 0$整理为$(1 + m)x - 3y + 2 = 0$，无论$m$取何值，令$x = 0$，则$-3y + 2 = 0$，$y = \frac{2}{3}$。
这个解为$\begin{cases}x=0\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$。
当$y = 1$时，$x = 7$；当$y = 2$时，$x = 4$；当$y = 3$时，$x = 1$。
正整数解为$\begin{cases}x=7\\y=1\end{cases}$，$\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}$，$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
(2)联立$\begin{cases}x + 3y = 10\\2x - 3y = 2\end{cases}$，两式相加得$3x = 12$，$x = 4$，代入$x + 3y = 10$得$4 + 3y = 10$，$y = 2$。
将$x = 4$，$y = 2$代入$x - 3y + mx + 2 = 0$：$4 - 6 + 4m + 2 = 0$，$4m = 0$，$m = 0$。
(3)方程$x - 3y + mx + 2 = 0$整理为$(1 + m)x - 3y + 2 = 0$，无论$m$取何值，令$x = 0$，则$-3y + 2 = 0$，$y = \frac{2}{3}$。
这个解为$\begin{cases}x=0\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$。
